هندسه کامل زیرفضاها در ابعاد ۲ و ۳

در دنیای هندسی اقلیدسی، زیرفضاها تنها و تنها اشیای مسطحی هستند که از مبدا مختصات عبور می‌کنند:

• در $\mathbb{R}^2$: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، و کل صفحه $\mathbb{R}^2$.
• در $\mathbb{R}^3$: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، صفحات تخت گذرنده از مبدا، و کل فضا $\mathbb{R}^3$.

بررسی شرایط سه‌گانه

۱. عضو همانی جمعی: آیا $(0,0,0) \in U$؟

$$2(0) - 3(0) + 0 = 0 - 0 + 0 = 0 \quad \checkmark$$

پس مبدا مختصات در $U$ است.

۲. بسته بودن تحت جمع: فرض کنید $u = (x_1, y_1, z_1) \in U$ و $w = (x_2, y_2, z_2) \in U$. این یعنی:

$$2x_1 - 3y_1 + z_1 = 0 \quad \text{و} \quad 2x_2 - 3y_2 + z_2 = 0$$

حال بردار حاصل‌جمع $u + w = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ را بررسی می‌کنیم:

$$2(x_1+x_2) - 3(y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (2x_1 - 3y_1 + z_1) + (2x_2 - 3y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0$$

بنابراین $u + w \in U$ است. $\checkmark$

۳. بسته بودن تحت ضرب اسکالر: فرض کنید $c \in \mathbb{R}$ و $u = (x_1, y_1, z_1) \in U$. داریم:

$$c \cdot u = (cx_1, cy_1, cz_1)$$

جایگذاری در معادله صفحه:

$$2(cx_1) - 3(cy_1) + (cz_1) = c(2x_1 - 3y_1 + z_1) = c \cdot 0 = 0$$

بنابراین $c \cdot u \in U$ است. $\checkmark$

نتیجه: $U$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^3$ است.

غیرمثال ۱: خطوط و صفحات غیرگذرنده از مبدا (Affine Subspaces)

مجموعه $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y = 2x + 3\}$:

• مبدا $(0,0)$ در این مجموعه نیست ($0 \neq 2(0) + 3$). بنابراین زیرفضا نیست.
• این مجموعه‌ها در هندسه «زیرفضای آفین» (Affine) نامیده می‌شوند، اما در جبر خطی زیرفضا نیستند.

غیرمثال ۲: اجتماع دو محور مختصات در $\mathbb{R}^2$

مجموعه $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 0\}$:

• این مجموعه شامل محور $x$ها ($y=0$) و محور $y$ها ($x=0$) است.
• مبدا $(0,0) \in A$ است.
• هر بردار روی محورها در عدد ضرب شود روی همان محور می‌ماند (بسته تحت ضرب اسکالر).
• اما تحت جمع بسته نیست! بردار $u = (1, 0) \in A$ و بردار $w = (0, 1) \in A$، اما: $$u + w = (1, 1) \implies 1 \cdot 1 = 1 \neq 0 \implies (1, 1) \notin A$$
• بنابراین اجتماع زیرفضاها عموماً زیرفضا نیست! (مقدمه برای تعریف ۳۶.۱ جمع زیرفضاها).

غیرمثال ۳: دایره و کره

دایره یکه $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$ یا قرص دایره $D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 1\}$:

• دایره شامل مبدا نیست.
• قرص دایره شامل مبدا هست، ولی با ضرب در اسکالر بزرگ (مثلاً $10$) از دایره خارج می‌شود.