برای هر یک از زیرمجموعه‌های زیر از $\mathbb{F}^3$، تعیین کنید که آیا زیرفضایی از $\mathbb{F}^3$ است یا خیر:

1. $U_1 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\}$
2. $U_2 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 x_2 x_3 = 0\}$
3. $U_3 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4\}$
4. $U_4 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 = 5x_3\}$

۱. بررسی مجموعه $U_1 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\}$

پاسخ: $U_1$ یک زیرفضای $\mathbb{F}^3$ است.

• شرط اول (عضو صفر): برای بردار صفر $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ داریم:

  $$0 + 2(0) + 3(0) = 0 + 0 + 0 = 0$$

  پس $\mathbf{0} \in U_1$.

• شرط دوم (بسته بودن تحت جمع): فرض کنید $x = (x_1, x_2, x_3) \in U_1$ و $y = (y_1, y_2, y_3) \in U_1$. در این صورت:

  $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \quad \text{و} \quad y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 0$$

  بردار مجموع برابر است با $x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$. اکنون شرط عضویت را بررسی می‌کنیم:

  $$(x_1 + y_1) + 2(x_2 + y_2) + 3(x_3 + y_3) = (x_1 + 2x_2 + 3x_3) + (y_1 + 2y_2 + 3y_3) = 0 + 0 = 0$$

  بنابراین $x + y \in U_1$.

• شرط سوم (بسته بودن تحت ضرب اسکالر): برای هر اسکالر $c \in \mathbb{F}$ و بردار $x \in U_1$:

  $$cx = (cx_1, cx_2, cx_3)$$
  $$(cx_1) + 2(cx_2) + 3(cx_3) = c(x_1 + 2x_2 + 3x_3) = c(0) = 0$$

  بنابراین $cx \in U_1$. هر سه شرط برقرارند، پس $U_1$ یک زیرفضا است.

۲. بررسی مجموعه $U_2 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 x_2 x_3 = 0\}$

پاسخ: $U_2$ زیرفضا نیست.

• اگرچه بردار صفر در مجموعه صدق می‌کند ($0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$) و مجموعه تحت ضرب اسکالر بسته است ($(cx_1)(cx_2)(cx_3) = c^3(x_1 x_2 x_3) = 0$)، اما مجموعه تحت جمع بسته نیست.
• مثال نقض صریح: دو بردار زیر را در نظر بگیرید: $$u = (1, 1, 0) \implies x_1 x_2 x_3 = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \implies u \in U_2$$ $$v = (0, 0, 1) \implies x_1 x_2 x_3 = 0 \cdot 0 \cdot 1 = 0 \implies v \in U_2$$ اما مجموع آنها: $$u + v = (1, 1, 1)$$ حاصل‌ضرب مؤلفه‌های بردار مجموع: $$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0 \implies u + v \notin U_2$$ چون تحت جمع بسته نیست، $U_2$ زیرفضا نیست.

۳. بررسی مجموعه $U_3 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4\}$

پاسخ: $U_3$ زیرفضا نیست.

• بررسی بردار صفر: بردار صفر $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ را در رابطه مجموعه قرار می‌دهیم: $$0 + 2(0) + 3(0) = 0 \neq 4$$ بنابراین $\mathbf{0} \notin U_3$. چون بردار صفر در مجموعه وجود ندارد، طبق شرط اول قضیه ۳۲.۱، مجموعه $U_3$ زیرفضا نیست.

۴. بررسی مجموعه $U_4 = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{F}^3 : x_1 = 5x_3\}$

پاسخ: $U_4$ یک زیرفضای $\mathbb{F}^3$ است.

معادله را به فرم استاندارد همگن $x_1 - 5x_3 = 0$ می‌نویسیم.

• شرط اول (عضو صفر): برای $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ داریم $0 - 5(0) = 0$، پس $\mathbf{0} \in U_4$.
• شرط دوم (بسته بودن تحت جمع): اگر $x, y \in U_4$، آنگاه $x_1 = 5x_3$ و $y_1 = 5y_3$. برای بردار $x + y$: $$(x_1 + y_1) = 5x_3 + 5y_3 = 5(x_3 + y_3) \implies x + y \in U_4$$
• شرط سوم (بسته بودن تحت ضرب اسکالر): برای هر $c \in \mathbb{F}$ و $x \in U_4$: $$cx_1 = c(5x_3) = 5(cx_3) \implies cx \in U_4$$ بنابراین $U_4$ یک زیرفضا است. $\blacksquare$

• دام $U_2$: دانشجویان اغلب می‌بینند که بردار صفر صدق می‌کند و حتی ضرب اسکالر هم به توان ۳ می‌رسد و صفر می‌ماند، و با عجله حکم به زیرفضا بودن می‌دهند. شرط جمع در ضرب‌های چندمتغیره به راحتی می‌شکند!
• هندسه صفحات: هر معادله همگن درجه یک $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0$ یک زیرفضا (صفحه از مبدا) است، در حالی که معادله ناهمگن ($= 4$) صفحه جابه‌جا شده است و هرگز مبدا را شامل نمی‌شود.