تمرین ۱۱ بخش ۳.۱: اثبات اینکه اشتراک هر خانواده دلخواه از زیرفضاها یک زیرفضاست

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید که اشتراک هر خانواده از زیرفضاهای $V$ یک زیرفضا از $V$ است.

۱. تحلیل اولیه و باز کردن خواسته مسئله

داده‌های مسئله:
- فضای برداری $V$ روی میدان $\mathbb{F}$ .
- خانواده‌ای دلخواه از زیرفضاها با مجموعه اندیس دلخواه $I$ (که می‌تواند متناهی، نامتناهی شمارا یا ناشمارا باشد): $\{V_i\}_{i \in I} \quad (\forall i \in I, V_i \le V)$
حکم مسئله:
- اثبات اینکه اشتراک کل این خانواده: $W = \bigcap_{i \in I} V_i$ یک زیرفضای $V$ است.
چک‌لیست ابزارهای مورد نیاز:

تعمیم تمرین ۱۰ به تعداد نامتناهی یا ناشمارا با استفاده از سور عمومی (Universal Quantifier $\forall i \in I$ ).
سور عمومی خاصیت جابه‌جایی با عطف منطقی دارد؛ بنابراین ویژگی بسته بودن تک‌تک اعضا به طور طبیعی به اشتراک نامتناهی منتقل می‌شود.

اثبات کامل برای خانواده دلخواه

فرض کنید $W = \bigcap_{i \in I} V_i$ .

گام اول: بررسی بردار صفر ( $\mathbf{0} \in W$ ) چون به ازای هر $i \in I$ ، مجموعه $V_i$ یک زیرفضای $V$ است:

\forall i \in I: \quad \mathbf{0} \in V_i

طبق تعریف اشتراک یک خانواده از مجموعه‌ها، عنصری در اشتراک است اگر و تنها اگر در تک‌تک مجموعه‌ها باشد. از این رو:

\mathbf{0} \in \bigcap_{i \in I} V_i = W

گام دوم: بسته بودن تحت عمل جمع فرض کنید $u, w \in W$ . بر اساس تعریف اشتراک:

u, w \in W \implies \forall i \in I: (u \in V_i \text{ و } w \in V_i)

اما چون هر $V_i$ یک زیرفضا است، تحت جمع بسته است:

\forall i \in I: \quad u + w \in V_i

چون بردار $u + w$ به تک‌تک زیرفضاهای این خانواده تعلق دارد، باید به اشتراک آن‌ها نیز تعلق داشته باشد:

u + w \in \bigcap_{i \in I} V_i = W

گام سوم: بسته بودن تحت ضرب اسکالر فرض کنید $c \in \mathbb{F}$ یک اسکالر دلخواه و $u \in W$ باشد. طبق تعریف اشتراک:

u \in W \implies \forall i \in I: \quad u \in V_i

چون هر $V_i$ یک زیرفضا است، تحت ضرب اسکالر بسته است:

\forall i \in I: \quad cu \in V_i

در نتیجه بردار $cu$ در تمام $V_i$ ها قرار دارد؛ پس در اشتراک آن‌هاست:

cu \in \bigcap_{i \in I} V_i = W

نتیجه‌گیری: هر سه شرط برقرارند؛ بنابراین $W = \bigcap_{i \in I} V_i$ یک زیرفضای $V$ است. $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

توجه کنید که اثبات هیچ وابستگی به متناهی بودن تعداد زیرفضاها ندارد. برخی به اشتباه از استقرای ریاضی استفاده می‌کنند که فقط برای تعداد متناهی پاسخگوست و اشتراک‌های ناشمارا (مانند اشتراک تمام زیرفضاهای شامل یک مجموعه) را پوشش نمی‌دهد.