ثابت کنید که اجتماع سه زیرفضا از $V$ یک زیرفضا از $V$ است اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها حاوی دو تای دیگر باشد.

گام اول: جهت بدیهی ($\impliedby$)

فرض کنیم یکی از زیرفضاها حاوی دو تای دیگر باشد؛ بدون کاهش کلیت فرض کنید $V_1 \subseteq V_3$ و $V_2 \subseteq V_3$. در این صورت:

چون $V_3$ یک زیرفضا است، اجتماع این سه زیرفضا نیز یک زیرفضا خواهد بود.

گام دوم: جهت اصلی ($\implies$)

فرض کنیم $U = V_1 \cup V_2 \cup V_3$ یک زیرفضا از $V$ باشد. می‌خواهیم ثابت کنیم یکی از این سه زیرفضا شامل دو تای دیگر است.

بررسی حالت کاهش به دو زیرفضا: اگر یکی از این زیرفضاها مشمول در یکی از دو تای دیگر باشد، مثلاً $V_1 \subseteq V_2$، آنگاه:

طبق تمرین ۱۲، اجتماع دو زیرفضا تنها زمانی زیرفضا است که یکی مشمول در دیگری باشد. پس باید $V_2 \subseteq V_3$ (که در نتیجه $V_1 \subseteq V_3$ و $V_3$ شامل هر دو است) یا $V_3 \subseteq V_2$ (که در نتیجه $V_2$ شامل هر دو است). در هر دو حالت، حکم اثبات می‌شود.

بررسی حالت اصلی (برهان خلف): اکنون فرض خلف می‌کنیم که هیچ‌یک از این سه زیرفضا مشمول در دیگری نباشد. پس عناصری وجود دارند که فقط متعلق به یکی از آنها باشند و در دوتای دیگر نباشند. به طور خاص، عنصری مانند $u \in V_1$ وجود دارد که $u \notin V_2 \cup V_3$، و عنصری مانند $v \in V_2$ وجود دارد که $v \notin V_1 \cup V_3$.

چون $u, v \in U$ و $U$ یک زیرفضا است، به ازای هر اسکالر ناصفر $c \in \mathbb{F}$، ترکیب خطی زیر نیز باید در $U$ باشد:

اکنون بررسی می‌کنیم که بردار $u + cv$ متعلق به کدام‌یک از این سه زیرفضا می‌تواند باشد:

1. اگر $u + cv \in V_1$ باشد: چون $u \in V_1$، داریم $cv = (u + cv) - u \in V_1$. چون $c \neq 0$، پس $v = c^{-1}(cv) \in V_1$، که تناقض است با $v \notin V_1$. بنابراین به ازای هر $c \neq 0$، داریم $u + cv \notin V_1$.

2. اگر $u + cv \in V_2$ باشد: چون $cv \in V_2$، داریم $u = (u + cv) - cv \in V_2$، که تناقض است با $u \notin V_2$. بنابراین به ازای هر $c \neq 0$، داریم $u + cv \notin V_2$.

نتیجه شگفت‌انگیز: چون $u + cv \in V_1 \cup V_2 \cup V_3$ اما به $V_1$ و $V_2$ تعلق ندارد، پس به ناچار باید داشته باشیم:

ایجاد تناقض نهایی با استفاده از اندازه میدان: طبق پیش‌فرض درس (و به طور کلی هر میدانی با حداقل ۳ عضو)، میدان $\mathbb{F}$ شامل حداقل دو اسکالر متمایز ناصفر است (مثلاً $c_1 = 1$ و $c_2 = 2$ در $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$). بنابراین دو اسکالر متمایز ناصفر $c_1, c_2 \in \mathbb{F}$ ($c_1 \neq c_2$) داریم که طبق استدلال فوق:

چون $V_3$ یک زیرفضا است، تحت تفریق بسته است:

از آنجا که $c_1 \neq c_2$، اسکالر $c_1 - c_2 \neq 0$ است. با ضرب در وارون آن:

اما این تناقض آشکار با انتخاب اولیه $v \notin V_3$ است!

نتیجه‌گیری: فرض خلف باطل است و حکم مسئله به طور کامل اثبات شد: اجتماع سه زیرفضا تنها در صورتی زیرفضا است که یکی از آنها حاوی دو تای دیگر باشد. $\blacksquare$

• نکته بسیار مهم در مورد میدان‌های دو عضوی: اگر میدان دو عضوی $\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$ باشد، این قضیه برقرار نیست! برای مثال در فضای $\mathbb{F}_2^2$، سه زیرفضای یک‌بعدی وجود دارند که اجتماع آنها کل فضا را می‌پوشاند ولی هیچ‌کدام شامل دیگری نیست. اما در کتاب آکسلر صریحاً قید شده که $\mathbb{F}$ همواره $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ است، لذا وجود حداقل دو اسکالر ناصفر تضمین شده است.