ثابت کنید که اجتماع دو زیرفضا از $V$ یک زیرفضا از $V$ است اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها مشمول در دیگری باشد.

گام اول: اثبات جهت دوم (کفایت شرط: $\impliedby$)

فرض کنید $V_1 \subseteq V_2$ یا $V_2 \subseteq V_1$ باشد.

• اگر $V_1 \subseteq V_2$ باشد، آنگاه $V_1 \cup V_2 = V_2$. چون طبق فرض مسئله $V_2$ یک زیرفضا است، پس اجتماع آنها یک زیرفضا است.
• اگر $V_2 \subseteq V_1$ باشد، آنگاه $V_1 \cup V_2 = V_1$. چون $V_1$ یک زیرفضا است، اجتماع آنها یک زیرفضا است. بنابراین این جهت به سادگی اثبات می‌شود.

گام دوم: اثبات جهت اول (لزوم شرط: $\implies$)

فرض کنیم $V_1 \cup V_2$ یک زیرفضا از $V$ باشد. می‌خواهیم ثابت کنیم $V_1 \subseteq V_2$ یا $V_2 \subseteq V_1$. اثبات با برهان خلف: فرض کنید ادعا نادرست باشد؛ یعنی:

این فرض خلف به این معناست که:

1. عنصری مانند $v_1$ وجود دارد به طوری که $v_1 \in V_1$ اما $v_1 \notin V_2$.
2. عنصری مانند $v_2$ وجود دارد به طوری که $v_2 \in V_2$ اما $v_2 \notin V_1$.

از آنجا که $v_1 \in V_1$ و $v_2 \in V_2$، هر دو بردار به اجتماع تعلق دارند:

چون طبق فرض $V_1 \cup V_2$ یک زیرفضا است، باید تحت عمل جمع بسته باشد:

طبق تعریف اجتماع مجموعه‌ها، این یعنی:

اکنون هر یک از این دو حالت را بررسی کرده و به تناقض می‌رسیم:

• حالت اول: فرض کنیم $v_1 + v_2 \in V_1$ چون $V_1$ یک زیرفضا است و $v_1 \in V_1$، وارون جمعی آن $-v_1 \in V_1$ است. بنابراین مجموع بردارها در $V_1$ باقی می‌ماند:

  $$v_2 = (v_1 + v_2) - v_1 \in V_1$$

  اما این تناقض مستقیم با انتخاب $v_2 \notin V_1$ است!

• حالت دوم: فرض کنیم $v_1 + v_2 \in V_2$ چون $V_2$ یک زیرفضا است و $v_2 \in V_2$، داریم $-v_2 \in V_2$. بنابراین:

  $$v_1 = (v_1 + v_2) - v_2 \in V_2$$

  اما این نیز تناقض مستقیم با انتخاب $v_1 \notin V_2$ است!

نتیجه‌گیری: هر دو حالت به تناقض انجامید. پس فرض خلف باطل است و باید داشته باشیم $V_1 \subseteq V_2$ یا $V_2 \subseteq V_1$. حکم دوطرفه کاملاً اثبات شد. $\blacksquare$

• این یکی از کلاسیک‌ترین قضایای جبر خطی و جبر مجرد است (در نظریه گروه‌ها نیز اجتماع دو زیرگروه تنها زمانی زیرگروه است که یکی مشمول در دیگری باشد).
• خطای رایج این است که فرض می‌کنند اگر $v_1 + v_2$ در اجتماع نباشد تناقض به دست آمده، در حالی که فرض خلف این است که اجتماع زیرفضاست، پس $v_1 + v_2$ حتماً در اجتماع هست و تناقض درون خود زیرفضاها رخ می‌دهد.