آیا $\mathbb{R}^2$ یک زیرفضا از فضای برداری مختلط $\mathbb{C}^2$ است؟

پاسخ: خیر، $\mathbb{R}^2$ زیرفضای فضای برداری مختلط $\mathbb{C}^2$ نیست.

گام اول: تبیین میدان اسکالر فضای مادر صورت سوال تصریح می‌کند که $\mathbb{C}^2$ یک «فضای برداری مختلط» است؛ یعنی عمل ضرب اسکالر روی میدان $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ تعریف شده است:

گام دوم: آزمون شرط سوم زیرفضا (بسته بودن تحت ضرب اسکالر) طبق تعریف زیرفضا، اگر $\mathbb{R}^2$ بخواهد یک زیرفضای $\mathbb{C}^2$ باشد، باید به ازای هر اسکالر مختلط $c \in \mathbb{C}$ و هر بردار $u \in \mathbb{R}^2$، حاصل‌ضرب $cu$ نیز عضو $\mathbb{R}^2$ باشد:

گام سوم: ارائه مثال نقض صریح اسکالر مختلط $c = i \in \mathbb{C}$ (واحد موهومی) و بردار غیرصفر $u = (1, 0) \in \mathbb{R}^2$ را انتخاب می‌کنیم. حاصل ضرب اسکالر را محاسبه می‌کنیم:

آیا $(i, 0) \in \mathbb{R}^2$ است؟ خیر! زیرا مؤلفه اول آن $i$ است و $i \notin \mathbb{R}$.

نتیجه‌گیری: زیرمجموعه $\mathbb{R}^2$ تحت ضرب اسکالرهای میدان $\mathbb{C}$ بسته نیست؛ بنابراین $\mathbb{R}^2$ یک زیرفضا از فضای برداری مختلط $\mathbb{C}^2$ نیست. $\blacksquare$

• اشتباه گرفتن میدان‌ها: $\mathbb{R}^2$ تحت جمع بسته است و اگر میدان اسکالر را $\mathbb{R}$ فرض می‌کردیم، یک زیرفضای حقیقی از $\mathbb{C}^2$ به عنوان فضای برداری حقیقی می‌شد. اما چون فضای مادر به عنوان فضای برداری مختلط تعریف شده، اسکالرها باید از $\mathbb{C}$ بیایند.
• نکته مفهومی امتحانی: مفهوم زیرفضا بدون ذکر صریح میدان تعریف‌پذیر نیست!