فرض کنید $b \in \mathbb{R}$. نشان دهید که مجموعه‌ی توابع حقیقی‌مقدار پیوسته $f$ روی بازه $[0, 1]$ به طوری که

یک زیرفضا از $\mathbb{R}^{[0, 1]}$ است اگر و تنها اگر $b = 0$.

گام اول: اثبات شرط لازم ($U_b \text{ زیرفضا است} \implies b = 0$)

فرض کنیم $U_b$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^{[0, 1]}$ باشد. طبق شرط اول زیرفضا (قضیه ۳۲.۱)، عضو خنثای جمع که تابع همواره صفر $z(x) = 0$ است، باید متعلق به $U_b$ باشد:

طبق تعریف مجموعه $U_b$، هر تابعی که در آن است باید در شرط انتگرال صدق کند:

از طرفی می‌دانیم انتگرال ریمان تابع ثابت صفر روی بازه $[0, 1]$ برابر صفر است:

بنابراین:

این گام اثبات می‌کند که اگر $b \neq 0$ باشد، مجموعه اصلاً نمی‌تواند زیرفضا باشد زیرا فاقد بردار صفر است.

گام دوم: اثبات شرط کافی ($b = 0 \implies U_0 \text{ یک زیرفضا است}$)

فرض کنیم $b = 0$. در این حالت مجموعه به صورت زیر است:

اکنون شرایط سه‌گانه زیرفضا را برای $U_0$ بررسی می‌کنیم:

۱. عضو صفر: تابع همواره صفر $z(x) = 0$ پیوسته است و $\int_0^1 0 \, dx = 0$. بنابراین $z \in U_0$.

۲. بسته بودن تحت جمع: فرض کنید $f, g \in U_0$. پس $f$ و $g$ پیوسته‌اند و $\int_0^1 f = 0$ و $\int_0^1 g = 0$. مجموع دو تابع پیوسته، پیوسته است. با استفاده از خاصیت خطی بودن انتگرال ریمان:

بنابراین $f + g \in U_0$.

۳. بسته بودن تحت ضرب اسکالر: فرض کنید $c \in \mathbb{R}$ و $f \in U_0$. تابع $cf$ پیوسته است و طبق قوانین انتگرال‌گیری:

بنابراین $cf \in U_0$.

نتیجه‌گیری: هر سه شرط برقرارند، پس $U_0$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^{[0, 1]}$ است. از ترکیب دو گام فوق، حکم مسئله اثبات می‌شود: $U_b$ زیرفضا است اگر و تنها اگر $b = 0$. $\blacksquare$

• دانشجویان اغلب فقط نشان می‌دهند که اگر $b = 0$ باشد زیرفضاست، ولی اثبات جهت دیگر (اینکه اگر زیرفضا باشد حتماً باید $b = 0$ شود) را فراموش می‌کنند؛ برای گزاره‌های «اگر و تنها اگر» هر دو جهت الزامی است.