صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، تمرین ۱ و ۱۴ بخش ۳.۱)

مشخص کنید کدام‌یک از زیرمجموعه‌های زیر از فضای برداری $\mathbb{R}^3$ زیرفضا هستند و کدام‌یک نیستند؟ برای مواردی که زیرفضا هستند، اثبات دقیق ۳ شرط را ارائه دهید و برای مواردی که زیرفضا نیستند، یک مثال نقض عددی مشخص ذکر کنید:

1. $U_1 = \big\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \big\}$
2. $U_2 = \big\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4 \big\}$
3. $U_3 = \big\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_1 x_2 x_3 = 0 \big\}$
4. $U_4 = \big\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_1 \ge 0 \big\}$
5. مسئله مکمل (تمرین ۱۴ بخش ۳.۱ آکسلر): فرض کنید $U = \{ (x, -x, 2x) : x \in \mathbb{R} \}$ و $W = \{ (x, x, 2x) : x \in \mathbb{R} \}$ باشند. نشان دهید $U$ و $W$ زیرفضا هستند و سپس زیرفضای جمع $U + W$ را به صورت جبری و هندسی توصیف کنید.

بررسی تشریحی تک‌تک مجموعه‌ها

۱. بررسی مجموعه $U_1 = \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \}$

• شرط اول (عضو صفر): برای بردار صفر $(0, 0, 0)$ داریم:

  $$0 + 2(0) + 3(0) = 0$$

  بنابراین $(0, 0, 0) \in U_1$.

• شرط دوم (بسته بودن تحت جمع): فرض کنید $u = (x_1, x_2, x_3) \in U_1$ و $v = (y_1, y_2, y_3) \in U_1$. پس:

  $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \quad \text{و} \quad y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 0$$

  حاصل جمع بردارها برابر است با $u + v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$. شرط عضویت در $U_1$ را تست می‌کنیم:

  $$(x_1 + y_1) + 2(x_2 + y_2) + 3(x_3 + y_3) = (x_1 + 2x_2 + 3x_3) + (y_1 + 2y_2 + 3y_3) = 0 + 0 = 0$$

  بنابراین $u + v \in U_1$.

• شرط سوم (بسته بودن تحت ضرب اسکالر): برای هر $c \in \mathbb{R}$ و $u \in U_1$:

  $$cu = (cx_1, cx_2, cx_3)$$

  بررسی شرط عضویت:

  $$(cx_1) + 2(cx_2) + 3(cx_3) = c(x_1 + 2x_2 + 3x_3) = c \cdot 0 = 0$$

  بنابراین $cu \in U_1$.

نتیجه: $U_1$ یک زیرفضای دوبعدی (صفحه گذرنده از مبدا) در $\mathbb{R}^3$ است.

---

۲. بررسی مجموعه $U_2 = \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4 \}$

• بررسی بردار صفر: مختصات $(0, 0, 0)$ را در معادله قرار می‌دهیم: $$0 + 2(0) + 3(0) = 0 \neq 4$$ چون $(0, 0, 0) \notin U_2$، طبق شرط اول تعریف، $U_2$ زیرفضا نیست.

---

۳. بررسی مجموعه $U_3 = \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 x_2 x_3 = 0 \}$

• بررسی بردار صفر: $0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$ پس $0 \in U_3$.
• بررسی ضرب اسکالر: اگر $x_1 x_2 x_3 = 0$ باشد، $(cx_1)(cx_2)(cx_3) = c^3 (x_1 x_2 x_3) = 0$، پس تحت ضرب اسکالر بسته است!
• بررسی بستگی تحت جمع (یافتن مثال نقض): دو بردار انتخاب می‌کنیم که هر کدام حداقل یک مؤلفه صفر داشته باشند، ولی جمع آن‌ها مؤلفه صفر نداشته باشد: $$u = (1, 1, 0) \in U_3 \quad (\text{چون } 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0)$$ $$v = (0, 0, 1) \in U_3 \quad (\text{چون } 0 \cdot 0 \cdot 1 = 0)$$ اما حاصل جمع: $$u + v = (1+0, 1+0, 0+1) = (1, 1, 1)$$ حاصل ضرب مؤلفه‌های بردار جمع: $$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0 \implies u + v \notin U_3$$ نتیجه: $U_3$ تحت جمع بسته نیست و بنابراین زیرفضا نیست.

---

۴. بررسی مجموعه $U_4 = \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 \ge 0 \}$

• بررسی ضرب اسکالر (یافتن مثال نقض): بردار $u = (1, 0, 0)$ عضو $U_4$ است چون مؤلفه اول آن $1 \ge 0$ است. اسکالر $c = -1 \in \mathbb{R}$ را انتخاب می‌کنیم: $$cu = -1 \cdot (1, 0, 0) = (-1, 0, 0)$$ مؤلفه اول این بردار $-1$ است و چون $-1 < 0$، بردار $cu \notin U_4$. نتیجه: $U_4$ تحت ضرب اسکالر بسته نیست و زیرفضا نیست.

---

۵. مسئله مکمل: بررسی $U + W$

$U$ خط عبورکننده از مبدا با بردار هادی $u_0 = (1, -1, 2)$ است:

$$U = \operatorname{span}\big( (1, -1, 2) \big)$$

$W$ خط عبورکننده از مبدا با بردار هادی $w_0 = (1, 1, 2)$ است:

$$W = \operatorname{span}\big( (1, 1, 2) \big)$$

هر دو به وضوح زیرفضای یک‌بعدی هستند. مجموع $U + W$ طبق تعریف برابر است با:

$$U + W = \{ u + w : u \in U, w \in W \} = \{ (x+y, -x+y, 2x+2y) : x, y \in \mathbb{R} \}$$

متغیرهای جدید تعریف می‌کنیم: فرض کنید $a = x + y$ و $b = -x + y$. آنگاه:

$$2x + 2y = 2(x + y) = 2a$$

بنابراین مؤلفه سوم همواره دو برابر مؤلفه اول است، بدون هیچ قیدی روی مؤلفه دوم! پس:

$$U + W = \big\{ (a, b, 2a) : a, b \in \mathbb{R} \big\} = \big\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_3 = 2x_1 \big\}$$

توصیف کلامی (بدون نماد): $U + W$ صفحه‌ای در $\mathbb{R}^3$ است که از مبدا می‌گذرد و محور $y$ را به طور کامل در بر می‌گیرد و در آن مختصات سوم هر نقطه دقیقاً دو برابر مختصات اول آن است. $\blacksquare$

تله‌های امتحانی متداول

1. اشتباه گرفتن بسته بودن تحت ضرب با زیرفضا بودن: در مجموعه $U_3$ ($x_1 x_2 x_3 = 0$)، ضرب اسکالر کاملاً برقرار است! بسیاری از دانشجویان به اشتباه فکر می‌کنند اگر ضرب برقرار باشد، حتماً زیرفضاست، غافل از اینکه جمع نقض می‌شود.
2. نوشتن مثال نقض‌های کلی‌گویی بدون عدد: اگر مجموعه‌ای زیرفضا نیست، حتماً یک بردار با اعداد مشخص عددی بنویسید (مانند $u=(1,1,0)$ و $v=(0,0,1)$). مصحح آزمون به اثبات‌های انتزاعیِ مبهم نمره کامل نمی‌دهد.
3. عدم دقت در نامساوی‌ها: هر جا قید نامساوی (مانند $x_1 \ge 0$ یا $x_1^2 + x_2^2 \le 1$) دیدید، بلافاصله اسکالر منفی $-1$ یا ضرب اسکالر بزرگ را برای مثال نقض امتحان کنید.