نشان دهید که مجموعه‌ی توابع حقیقی‌مقدار مشتق‌پذیر $f$ روی بازه $(-4, 4)$ به طوری که

یک زیرفضا از $\mathbb{R}^{(-4, 4)}$ است.

گام اول: بررسی عضو صفر ($0 \in U$) بردار صفر در این فضا، تابع همواره صفر $z(x) = 0$ به ازای تمام $x \in (-4, 4)$ است. ۱. تابع ثابت صفر در تمام نقاط مشتق‌پذیر است و مشتق آن $z'(x) = 0$ است. ۲. مقدار مشتق در نقطه $-1$: $z'(-1) = 0$. ۳. مقدار تابع در نقطه ۲: $z(2) = 0 \implies 3 z(2) = 3(0) = 0$. بنابراین:

پس تابع صفر در $U$ قرار دارد ($z \in U$).

گام دوم: بسته بودن تحت جمع ($f, g \in U \implies f + g \in U$) فرض کنید $f, g \in U$. پس هر دو مشتق‌پذیرند و داریم:

مجموع دو تابع مشتق‌پذیر، تابعی مشتق‌پذیر است. طبق قاعده مشتق مجموع:

اکنون رابطه را در نقطه $-1$ ارزیابی می‌کنیم:

بنابراین تابع $f + g$ نیز در شرط صدق کرده و $f + g \in U$ است.

گام سوم: بسته بودن تحت ضرب اسکالر ($c \in \mathbb{R}, f \in U \implies cf \in U$) فرض کنید $c \in \mathbb{R}$ و $f \in U$. مضرب اسکالر یک تابع مشتق‌پذیر، مشتق‌پذیر است و:

ارزیابی در نقطه $-1$:

بنابراین بردار $cf \in U$ است.

نتیجه‌گیری: هر سه شرط قضیه ۳۲.۱ برقرارند. بنابراین مجموعه مزبور یک زیرفضای $\mathbb{R}^{(-4, 4)}$ است. $\blacksquare$

• فراموش نکنید که علاوه بر ارزیابی تساوی $f'(-1) = 3f(2)$، باید مشتق‌پذیر بودن تابع حاصل‌جمع و مضرب اسکالر را نیز تصریح کنید.
• اگر رابطه به صورت $f'(-1) = 3f(2) + 1$ داده شده بود، تابع صفر در آن صدق نمی‌کرد و زیرفضا نمی‌شد.