صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، تمرین ۱۲ بخش ۳.۱)

فرض کنید $U$ و $W$ دو زیرفضای دلخواه از یک فضای برداری $V$ باشند. ثابت کنید که اجتماع این دو زیرفضا، یعنی $U \cup W$، یک زیرفضا از $V$ است اگر و تنها اگر یکی از آن‌ها مشمول دیگری باشد؛ یعنی:

$$U \cup W \text{ is a subspace of } V \iff U \subseteq W \lor W \subseteq U$$

اثبات کامل دوطرفه

جهت اول ($\impliedby$): فرض می‌کنیم $U \subseteq W$ یا $W \subseteq U$

• حالت ۱: اگر $U \subseteq W$ باشد، بر اساس نظریه مجموعه‌ها داریم: $$U \cup W = W$$ چون طبق فرض صورت مسئله، $W$ یک زیرفضای $V$ است، پس $U \cup W$ نیز یک زیرفضا از $V$ خواهد بود.
• حالت ۲: اگر $W \subseteq U$ باشد، بر اساس نظریه مجموعه‌ها داریم: $$U \cup W = U$$ چون $U$ یک زیرفضای $V$ است، پس $U \cup W$ نیز یک زیرفضا از $V$ خواهد بود. بنابراین این جهت اثبات به سادگی کامل می‌شود.

---

جهت دوم ($\implies$): فرض می‌کنیم $U \cup W$ یک زیرفضا از $V$ باشد

باید ثابت کنیم $U \subseteq W$ یا $W \subseteq U$.

گام اول (فرض خلف): به برهان خلف فرض می‌کنیم که ادعا نادرست باشد. نقیض گزاره «$U \subseteq W$ یا $W \subseteq U$» عبارت است از:

$$U \not\subseteq W \quad \text{و} \quad W \not\subseteq U$$

گام دوم (استخراج بردارهای شاهد):

• از $U \not\subseteq W$ نتیجه می‌گیریم برداری مانند $u \in U$ وجود دارد به طوری که $u \notin W$.
• از $W \not\subseteq U$ نتیجه می‌گیریم برداری مانند $w \in W$ وجود دارد به طوری که $w \notin U$.

گام سوم (بررسی بردار جمع $u + w$): چون $u \in U$ است، پس قطعاً $u \in U \cup W$. چون $w \in W$ است، پس قطعاً $w \in U \cup W$. طبق فرض جهت دوم، $U \cup W$ یک زیرفضا است؛ بنابراین باید تحت عمل جمع بسته باشد:

$$u + w \in U \cup W$$

بر اساس تعریف اجتماع مجموعه‌ها، این بدان معناست که:

$$u + w \in U \quad \text{یا} \quad u + w \in W$$

گام چهارم (بررسی حالات و رسیدن به تناقض):

• حالت الف: فرض کنیم $u + w \in U$ باشد. چون $U$ یک زیرفضا است، تحت جمع و تفریق بسته است. از طرفی می‌دانیم $u \in U$. بنابراین وارون جمعی آن $-u \in U$ است:

  $$w = (u + w) - u \in U$$

  این نتیجه با فرض گام دوم که صراحتاً بیان می‌کرد $w \notin U$ در تناقض آشکار است!

• حالت ب: فرض کنیم $u + w \in W$ باشد. چون $W$ یک زیرفضا است، تحت تفریق بسته است. از طرفی می‌دانیم $w \in W$. بنابراین:

  $$u = (u + w) - w \in W$$

  این نتیجه با فرض گام دوم که صراحتاً بیان می‌کرد $u \notin W$ در تناقض آشکار است!

گام پنجم (نتیجه‌گیری): در هر دو حالت به تناقض رسیدیم. بنابراین فرض خلف باطل است و حکم برقرار می‌باشد:

$$U \subseteq W \quad \text{یا} \quad W \subseteq U$$

اثبات به طور کامل به پایان رسید. $\blacksquare$

نکات سرنوشت‌ساز در تصحیح برگه امتحان

1. اشتباه در نگارش نقیض گزاره عطف/فصل: نقیض «$A$ یا $B$» برابر است با «نقیض $A$ و نقیض $B$» (قانون دمورگان). اگر دانشجویی بنویسد «فرض خلف می‌کنیم $U \not\subseteq W$ یا $W \not\subseteq U$»، کل استدلال برهان خلف را از دست داده است.
2. اثبات یک‌طرفه: چون صورت سوال «اگر و تنها اگر» است، عدم اثبات جهت بدیهی ($\impliedby$) نمره کسر خواهد کرد (هرچند کوتاه باشد، حتماً باید نوشته شود).
3. تعمیم نادرست به سه زیرفضا: توجه داشته باشید که این قضیه برای ۳ زیرفضا به این فرم برقرار نیست مگر آنکه میدان بی‌نهایت باشد! به عنوان مثال در میدان دو عضوی $\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$، فضا $\mathbb{F}_2^2$ دارای سه زیرفضای یک‌بعدی است که اجتماع هر سه تای آن‌ها برابر کل فضا می‌شود بدون اینکه هیچ‌کدام مشمول دیگری باشد (تمرین ۱۳ بخش ۳.۱).