پیام کلیدی قضیه در یک جمله

حاصل‌جمع چند زیرفضا $V_1 + \dots + V_m$، خودش همیشه یک زیرفضای معتبر است و دقیقاً کوچکترین زیرفضایی است که تمام این زیرفضاها را در بر می‌گیرد؛ به این معنا که هر زیرفضای دیگری که شامل همه آنها باشد، ناچار است شامل جمع آنها نیز باشد.

قضیه ۳۸.۱ آکسلر (کمینگی جمع زیرفضاها)

فرض کنید $V_1, \dots, V_m$ زیرفضاهایی از فضای برداری $V$ باشند. در این صورت: ۱. مجموعه $V_1 + \dots + V_m$ یک زیرفضای $V$ است. ۲. برای هر $j \in \{1, \dots, m\}$ داریم $V_j \subseteq V_1 + \dots + V_m$. ۳. اگر $W$ هر زیرفضایی از $V$ باشد به طوری که برای تمام $j$ها داشته باشیم $V_j \subseteq W$، آنگاه:

$$V_1 + \dots + V_m \subseteq W$$

یعنی $V_1 + \dots + V_m$ کوچکترین زیرفضای $V$ است که شامل $V_1, \dots, V_m$ می‌باشد.

اثبات کامل قضیه ۳۸.۱

گام اول: اثبات اینکه $V_1 + \dots + V_m$ یک زیرفضای $V$ است

سه شرط شرایط سه‌گانه زیرفضا را چک می‌کنیم:

۱. عضو همانی جمعی ($\mathbf{0}$): چون هر $V_k$ یک زیرفضا است، پس $\mathbf{0} \in V_k$ به ازای هر $k = 1, \dots, m$. بنابراین می‌توان نوشت:

$$\mathbf{0} = \underbrace{\mathbf{0}}_{\in V_1} + \underbrace{\mathbf{0}}_{\in V_2} + \dots + \underbrace{\mathbf{0}}_{\in V_m}$$

پس $\mathbf{0} \in V_1 + \dots + V_m$. $\checkmark$

۲. بسته بودن تحت جمع: فرض کنید $u, w \in V_1 + \dots + V_m$ باشند. طبق تعریف جمع زیرفضاها:

$$u = u_1 + \dots + u_m \quad (u_k \in V_k)$$

$$w = w_1 + \dots + w_m \quad (w_k \in V_k)$$

حال با استفاده از خواص جابه‌جایی و شرکت‌پذیری جمع در فضای برداری $V$:

$$u + w = (u_1 + w_1) + (u_2 + w_2) + \dots + (u_m + w_m)$$

از آنجا که هر $V_k$ یک زیرفضا است، تحت جمع بسته است؛ بنابراین $(u_k + w_k) \in V_k$. این نشان می‌دهد $u + w$ به صورت مجموع عناصری از $V_1, \dots, V_m$ نوشته شده است. بنابراین $u + w \in V_1 + \dots + V_m$. $\checkmark$

۳. بسته بودن تحت ضرب اسکالر: فرض کنید $a \in \mathbb{F}$ و $u = u_1 + \dots + u_m \in V_1 + \dots + V_m$. با توزیع اسکالر داریم:

$$au = a(u_1 + \dots + u_m) = au_1 + au_2 + \dots + au_m$$

چون هر $V_k$ زیرفضا است، پس تحت ضرب اسکالر بسته است و $au_k \in V_k$. بنابراین $au \in V_1 + \dots + V_m$. $\checkmark$

با برقراری سه شرط، اثبات شد که $V_1 + \dots + V_m$ یک زیرفضای $V$ است.

---

گام دوم: اثبات شمول $V_j \subseteq V_1 + \dots + V_m$

فرض کنید $j \in \{1, \dots, m\}$ و $v_j \in V_j$ عضوی دلخواه باشد. چون $\mathbf{0} \in V_k$ برای تمام $k \neq j$، می‌توانیم $v_j$ را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$v_j = \mathbf{0} + \dots + \mathbf{0} + v_j + \mathbf{0} + \dots + \mathbf{0}$$

در این جمع، جمله $j$ام در $V_j$ است و بقیه جملات همگی صفر بوده و متعلق به زیرفضاهای مربوطه هستند. طبق تعریف جمع زیرفضاها، این بردار عضوی از $V_1 + \dots + V_m$ است. پس $V_j \subseteq V_1 + \dots + V_m$ برای هر $j$.

---

گام سوم: اثبات کمینگی (Minimality)

فرض کنید $W$ یک زیرفضای دلخواه از $V$ باشد که شامل تمام $V_1, \dots, V_m$ است؛ یعنی:

$$\forall k \in \{1, \dots, m\}: \quad V_k \subseteq W$$

حال برداری دلخواه مانند $v \in V_1 + \dots + V_m$ در نظر بگیرید. طبق تعریف:

$$v = v_1 + \dots + v_m \quad (v_k \in V_k)$$

از آنجا که $V_k \subseteq W$، نتیجه می‌شود که $v_k \in W$ برای تمام $k$. اما چون $W$ خودش یک زیرفضای برداری است، تحت عمل جمع بسته است و مجموع هر تعداد متناهی از عناصرش مجدداً در $W$ خواهد بود:

$$v_1 + \dots + v_m \in W \implies v \in W$$

چون این رابطه برای تمام اعضای $V_1 + \dots + V_m$ برقرار است، نتیجه می‌گیریم:

$$V_1 + \dots + V_m \subseteq W$$

اثبات هر سه بخش کامل است. بنابراین $V_1 + \dots + V_m$ کوچکترین زیرفضای شامل این زیرفضاهاست. $\blacksquare$