آیا عمل جمع روی زیرفضاهای $V$ شرکت‌پذیر است؟ به عبارت دیگر، اگر $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهایی از $V$ باشند، آیا

پاسخ: بله، عمل جمع روی زیرفضاها شرکت‌پذیر است.

گام اول: اثبات شمول $(V_1 + V_2) + V_3 \subseteq V_1 + (V_2 + V_3)$ فرض کنید $v \in (V_1 + V_2) + V_3$. طبق تعریف جمع زیرفضاها، عنصری مانند $x \in V_1 + V_2$ و عنصری مانند $v_3 \in V_3$ وجود دارند به طوری که:

حال چون $x \in V_1 + V_2$، عناصری مانند $v_1 \in V_1$ و $v_2 \in V_2$ وجود دارند به طوری که $x = v_1 + v_2$. در نتیجه:

با استفاده از اصل موضوع شرکت‌پذیری جمع بردارها در فضای برداری $V$:

از آنجا که $v_2 \in V_2$ و $v_3 \in V_3$، بردار مجموع $y = v_2 + v_3 \in V_2 + V_3$ است. بنابراین:

این اثبات می‌کند که:

گام دوم: اثبات شمول معکوس $V_1 + (V_2 + V_3) \subseteq (V_1 + V_2) + V_3$ فرض کنید $w \in V_1 + (V_2 + V_3)$. پس بردارهای $v_1 \in V_1$ و $z \in V_2 + V_3$ وجود دارند به طوری که $w = v_1 + z$. همچنین $z = v_2 + v_3$ برای $v_2 \in V_2$ و $v_3 \in V_3$. پس:

مجدداً با استفاده از شرکت‌پذیری جمع بردارها:

چون $v_1 + v_2 \in V_1 + V_2$ و $v_3 \in V_3$، نتیجه می‌شود:

نتیجه‌گیری: از برقراری هر دو شمول، تساوی دو مجموعه ثابت می‌شود:

$\blacksquare$

• شرکت‌پذیری جمع زیرفضاها این امکان را به ما می‌دهد که پرانتزها را حذف کرده و عبارت را به شکل استاندارد $V_1 + V_2 + V_3$ یا به طور کلی $\sum_{i=1}^m V_i$ بنویسیم بدون اینکه ابهامی در ترتیب محاسبات رخ دهد.