آیا عمل جمع روی زیرفضاهای $V$ جابه‌جایی است؟ به عبارت دیگر، اگر $U$ و $W$ زیرفضاهایی از $V$ باشند، آیا $U + W = W + U$؟

پاسخ: بله، عمل جمع روی زیرفضاها جابه‌جایی است؛ یعنی همواره داریم $U + W = W + U$.

گام اول: اثبات شمول $U + W \subseteq W + U$ فرض کنید بردار دلخواه $v \in U + W$ باشد. بنا به تعریف جمع زیرفضاها، بردارهایی مانند $u \in U$ و $w \in W$ وجود دارند به طوری که:

چون $V$ یک فضای برداری است، عمل جمع بردارها در $V$ خاصیت جابه‌جایی دارد:

بنابراین:

در این عبارت، $w \in W$ و $u \in U$ است؛ بنابراین طبق تعریف جمع زیرفضاها داریم:

پس شمول اول برقرار است:

گام دوم: اثبات شمول $W + U \subseteq U + W$ با تکرار دقیق همین استدلال (یا با تعویض نقش نمادهای $U$ و $W$): اگر $v' \in W + U$ باشد، آنگاه $v' = w + u$ برای $w \in W$ و $u \in U$. با جابه‌جایی جمع بردارها: $v' = u + w \in U + W$. بنابراین:

نتیجه‌گیری: از دو شمول فوق، تساوی مجموعه‌ای اثبات می‌شود:

$\blacksquare$

• توجه کنید که ویژگی‌های جبری اعمال روی زیرفضاها (مانند جابه‌جایی و شرکت‌پذیری) ریشه در اصول موضوعه فضای برداری زیرین دارند؛ اگر جمع بردارها جابه‌جایی نبود، جمع زیرفضاها نیز جابه‌جایی نمی‌شد.