فرض کنید $U$ یک زیرفضا از $V$ است. $U + U$ چیست؟

پاسخ: $U + U = U$.

برای اثبات تساوی دو مجموعه، شمول دوطرفه را نشان می‌دهیم:

گام اول: اثبات شمول $U + U \subseteq U$ فرض کنید بردار دلخواه $v \in U + U$ باشد. طبق تعریف جمع زیرفضاها، عناصری مانند $u_1, u_2 \in U$ وجود دارند به طوری که:

اما طبق فرض مسئله، $U$ یک زیرفضای $V$ است و بر اساس شرط دوم زیرفضا بودن، $U$ تحت عمل جمع بسته است:

بنابراین $v \in U$. چون این نتیجه برای هر عضو دلخواه $v \in U + U$ برقرار است، شمول اول اثبات می‌شود:

گام دوم: اثبات شمول $U \subseteq U + U$ فرض کنید $u \in U$ یک بردار دلخواه باشد. چون $U$ زیرفضا است، بردار صفر در آن وجود دارد ($\mathbf{0} \in U$). می‌توان بردار $u$ را به صورت مجموع زیر نوشت:

در این نمایش، جمله اول $u \in U$ و جمله دوم $\mathbf{0} \in U$ است. طبق تعریف جمع زیرفضاها، این بردار به $U + U$ تعلق دارد:

چون این رابطه به ازای هر $u \in U$ صادق است، شمول دوم نیز اثبات می‌شود:

نتیجه‌گیری: از شمول متقابل دو گام بالا، تساوی دقیق حاصل می‌شود:

$\blacksquare$

• عمل جمع زیرفضاها یک عمل خودتوان (Idempotent) است، یعنی $U + U = U$.
• اشتباه رایج دانشجویان در تفاوت قائل نشدن بین جمع مجموعه‌ای و ضرب اسکالر است: $U + U$ برابر با $2U = \{2u : u \in U\}$ نیست، هرچند برای یک زیرفضا مجموعه $2U$ نیز برابر با خود $U$ است.