آیا عمل جمع روی زیرفضاهای $V$ یک همانی جمعی دارد؟ کدام زیرفضاها وارون جمعی دارند؟

بخش اول: تعیین عضو همانی جمعی (Additive Identity)

پاسخ: بله، زیرفضای صفر $\{\mathbf{0}\}$ عضو همانی یکتای جمع زیرفضاها است.

اثبات: فرض کنید $I = \{\mathbf{0}\}$ باشد که طبق تعریف یک زیرفضای $V$ است. برای هر زیرفضای دلخواه $U \le V$:

و با جابه‌جایی (تمرین ۱۶) داریم:

علاوه بر این، این عضو همانی یکتا است: اگر $I'$ نیز یک عضو همانی باشد، باید داشته باشیم:

بنابراین زیرفضای صفر $\{\mathbf{0}\}$ تنها همانی جمعی است.

بخش دوم: تعیین زیرفضاهای دارای وارون جمعی (Additive Inverse)

پاسخ: تنها زیرفضای صفر $\{\mathbf{0}\}$ دارای وارون جمعی است (که وارون آن خودش است)، و هیچ زیرفضای دیگری وارون جمعی ندارد.

اثبات: طبق تعریف، زیرفضای $W$ را وارون جمعی زیرفضای $U$ می‌نامیم اگر و تنها اگر حاصل‌جمع آنها برابر با عضو همانی جمعی شود:

حال فرض کنید چنین رابطه‌ای برقرار باشد. چون $W$ یک زیرفضا است، حتماً شامل بردار صفر است: $\mathbf{0} \in W$. بنابراین:

شمول $U \subseteq \{\mathbf{0}\}$ الزام می‌کند که تنها عضو موجود در $U$ بردار صفر باشد:

به طور کاملاً متقارن، چون $\mathbf{0} \in U$ داریم:

از طرفی برای خود زیرفضای صفر:

یعنی زیرفضای صفر وارون جمعی خودش است.

نتیجه‌گیری: عمل جمع روی زیرفضاها دارای عضو همانی $\{\mathbf{0}\}$ است، اما ساختار گروهی تشکیل نمی‌دهد (بلکه یک مونوئید تعویض‌پذیر است)، زیرا تنها زیرفضایی که وارون جمعی دارد، زیرفضای تک‌عضوی $\{\mathbf{0}\}$ می‌باشد. $\blacksquare$

• برخی دانشجویان به اشتباه فکر می‌کنند وارون جمعی یک زیرفضا می‌تواند منفی آن باشد: $-U = \{-u : u \in U\}$. اما چون $U$ زیرفضا است، تحت ضرب در اسکالر $-1$ بسته است و لذا $-U = U$. بنابراین $U + (-U) = U + U = U$ که برابر $\{\mathbf{0}\}$ نمی‌شود مگر آنکه $U = \{\mathbf{0}\}$.