ثابت کنید یا یک مثال نقض بیاورید: اگر $V_1, V_2, U$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که

آنگاه $V_1 = V_2$.

پاسخ: این گزاره نادرست است. متمم جمع مستقیم یک زیرفضا لزوماً یکتا نیست.

گام اول: تعریف فضا و زیرفضاها در $\mathbb{R}^2$ فضای برداری $V = \mathbb{R}^2$ را در نظر بگیرید. زیرفضاها را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

1. محور عمودی ($y$): $$U = \{(0, y) \in \mathbb{R}^2 : y \in \mathbb{R}\}$$
2. محور افقی ($x$): $$V_1 = \{(x, 0) \in \mathbb{R}^2 : x \in \mathbb{R}\}$$
3. خط نیمساز اول و سوم ($y = x$): $$V_2 = \{(t, t) \in \mathbb{R}^2 : t \in \mathbb{R}\}$$

هر سه مجموعه خطوط گذرنده از مبدا هستند و بنابراین زیرفضاهای معتبر $\mathbb{R}^2$ می‌باشند.

گام دوم: اثبات $\mathbb{R}^2 = V_1 \oplus U$

• اشتراک: اگر $v \in V_1 \cap U$، آنگاه $v = (x, 0) = (0, y) \implies x = 0, y = 0 \implies v = (0, 0)$. پس $V_1 \cap U = \{\mathbf{0}\}$.
• مجموع: هر بردار $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ به صورت یکتای $(x, 0) + (0, y)$ نوشته می‌شود که جمله اول در $V_1$ و جمله دوم در $U$ است. بنابراین طبق قضیه ۴۲.۱: $$\mathbb{R}^2 = V_1 \oplus U$$

گام سوم: اثبات $\mathbb{R}^2 = V_2 \oplus U$

• اشتراک: اگر $w \in V_2 \cap U$، آنگاه $w = (t, t) = (0, y) \implies t = 0 \implies w = (0, 0)$. پس $V_2 \cap U = \{\mathbf{0}\}$.
• مجموع: هر بردار دلخواه $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد: $$(x, y) = (x, x) + (0, y - x)$$ در این نمایش: $$(x, x) \in V_2 \quad \text{و} \quad (0, y - x) \in U$$ بنابراین هر بردار صفحه حاصل‌جمع عنصری از $V_2$ و عنصری از $U$ است. پس طبق قضیه ۴۲.۱: $$\mathbb{R}^2 = V_2 \oplus U$$

گام چهارم: نتیجه‌گیری و نقض حکم فرضیات صورت مسئله به طور کامل برقرار هستند:

اما آیا $V_1 = V_2$ است؟ بردار $(1, 0) \in V_1$ است، در حالی که $(1, 0) \notin V_2$ (چون مؤلفه‌های آن برابر نیستند). بنابراین:

حکم مسئله رد شد. $\blacksquare$

• دانشجویان ممکن است تصور کنند جمع مستقیم شبیه به «متمم مجموعه‌ای» است که یکتاست؛ اما در جبر خطی، یک زیرفضا می‌تواند بی‌نهایت متمم جمع مستقیم جبری داشته باشد. یکتایی متمم تنها زمانی برقرار می‌شود که ساختار ضرب داخلی و تعامد (متمم متعامد $U^\perp$) معرفی گردد (در فصول بعدی آکسلر).