ثابت کنید یا یک مثال نقض بیاورید: اگر $V_1, V_2, U$ زیرفضاهایی از $V$ باشند به طوری که

آنگاه $V_1 = V_2$.

پاسخ: این گزاره نادرست است. قانون ساده‌کردن در جمع زیرفضاها برقرار نیست.

گام اول: طراحی مثال نقض در صفحه $\mathbb{R}^2$ فضای برداری $V = \mathbb{R}^2$ را در نظر بگیرید. سه زیرفضای یک‌بعدی (سه خط متمایز گذرنده از مبدا) را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

1. محور افقی ($x$): $$U = \{(x, 0) \in \mathbb{R}^2 : x \in \mathbb{R}\}$$
2. محور عمودی ($y$): $$V_1 = \{(0, y) \in \mathbb{R}^2 : y \in \mathbb{R}\}$$
3. خط نیمساز ربع اول و سوم ($y = x$): $$V_2 = \{(t, t) \in \mathbb{R}^2 : t \in \mathbb{R}\}$$

گام دوم: بررسی زیرفضا بودن هر سه مجموعه خطوط راستی هستند که از مبدا $(0,0)$ عبور می‌کنند؛ بنابراین هر سه طبق مثال ۳۳.۱ زیرفضاهای معتبر $\mathbb{R}^2$ هستند.

گام سوم: محاسبه $V_1 + U$ هر بردار $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

در این عبارت $(0, y) \in V_1$ و $(x, 0) \in U$ است. بنابراین:

گام چهارم: محاسبه $V_2 + U$ هر بردار دلخواه $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ را می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد:

در این تجزیه، چون $y \in \mathbb{R}$، داریم $(y, y) \in V_2$. و چون $x - y \in \mathbb{R}$، داریم $(x - y, 0) \in U$. بنابراین هر بردار صفحه در $V_2 + U$ قرار دارد:

گام پنجم: بررسی فرض و حکم طبق محاسبات بالا داریم:

یعنی فرض مسئله کاملاً برقرار است. اما آیا $V_1 = V_2$ است؟ به وضوح خیر! بردار $(0, 1) \in V_1$ است، اما $(0, 1) \notin V_2$ (زیرا مؤلفه‌های آن برابر نیستند). بنابراین:

نتیجه‌گیری: تساوی $V_1 + U = V_2 + U$ لزوماً برابری $V_1 = V_2$ را نتیجه نمی‌دهد. ادعا با مثال نقض رد شد. $\blacksquare$

• دانشجویانی که به جبر مقدماتی اعداد عادت دارند، وسوسه می‌شوند $U$ را از دو طرف تساوی کم کنند؛ اما از تمرین ۱۸ می‌دانیم تفریق زیرفضاها تعریف نشده است چون زیرفضاها وارون جمعی ندارند. حتی اگر جمع مستقیم باشد ($V_1 \oplus U = V_2 \oplus U$) نیز لزوماً $V_1 = V_2$ نخواهد شد (به تمرین ۲۳ مراجعه کنید)!