یک تابع $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ متناوب نامیده می‌شود اگر عدد مثبت $p$ وجود داشته باشد به طوری که

برای هر $x \in \mathbb{R}$. آیا مجموعه‌ی توابع متناوب از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ است؟ توضیح دهید.

پاسخ: خیر، مجموعه‌ی توابع متناوب یک زیرفضا از $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ نیست.

گام اول: معرفی دو تابع متناوب با دوره‌های گنگ نسبت به هم دو تابع زیر را در نظر بگیرید:

1. $f(x) = \sin(x)$ این تابع با دوره تناوب اصلی $p_1 = 2\pi > 0$ متناوب است، زیرا برای هر $x$: $$\sin(x + 2\pi) = \sin(x) \implies f \in \mathcal{P}$$
2. $g(x) = \sin(\pi x)$ این تابع با دوره تناوب اصلی $p_2 = 2 > 0$ متناوب است، زیرا: $$\sin(\pi(x + 2)) = \sin(\pi x + 2\pi) = \sin(\pi x) \implies g \in \mathcal{P}$$

گام دوم: بررسی تابع مجموع $h(x) = f(x) + g(x) = \sin(x) + \sin(\pi x)$ فرض خلف می‌کنیم که تابع $h$ متناوب باشد. پس باید عدد مثبت $p > 0$ وجود داشته باشد به طوری که:

یعنی:

گام سوم: مشتق‌گیری برای استخراج شرایط روی دوره $p$ تساوی فوق یک اتحاد تابعی است؛ پس با دو بار مشتق‌گیری نسبت به $x$ نیز باید برقرار باشد:

شرط تناوب برای $h''$ ایجاب می‌کند که $h''(x + p) = h''(x)$، در نتیجه برای $x = 0$ داریم:

1. از $h(p) = h(0) = 0$: $$\sin(p) + \sin(\pi p) = 0 \implies \sin(p) = -\sin(\pi p)$$
2. از $h''(p) = h''(0) = 0$: $$-\sin(p) - \pi^2 \sin(\pi p) = 0 \implies \sin(p) = -\pi^2 \sin(\pi p)$$

با برابر قرار دادن این دو رابطه:

چون $\pi \approx 3.14159 \neq 1$，ضریب $1 - \pi^2 \neq 0$ است. بنابراین نتیجه می‌گیریم:

گام چهارم: رسیدن به تناقض با گنگ بودن $\pi$ از $\sin(\pi p) = 0$ نتیجه می‌شود که $\pi p$ باید مضرب صحیحی از $\pi$ باشد:

حال این مقدار را در رابطه اول ($\sin(p) = -\sin(\pi p) = 0$) قرار می‌دهیم:

با مساوی قرار دادن دو مقدار به دست آمده برای $p$:

از آنجا که $k, m$ اعدادی صحیح و مثبت هستند، این رابطه به این معناست که $\pi$ یک عدد گویا است! اما این یک تناقض آشکار با قضیه معروف گنگ بودن عدد $\pi$ (اثبات لمبرت) است.

نتیجه‌گیری: هیچ دوره تناوب مثبت $p > 0$ برای تابع $h = f + g$ وجود ندارد؛ یعنی $h$ متناوب نیست ($f + g \notin \mathcal{P}$). چون مجموعه توابع متناوب تحت عمل جمع بسته نیست، یک زیرفضا از $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ نیست. $\blacksquare$

• اگر دوره تناوب $p$ برای کل مجموعه ثابت بود (مثلاً مجموعه تمام توابع با دوره تناوب ثابت ۲)، آنگاه یک زیرفضای معتبر تشکیل می‌داد. اما چون در تعریف کلی، هر تابع می‌تواند دوره تناوب مستقل خودش را داشته باشد، بستگی تحت جمع از بین می‌رود.