تقلیل بی‌نهایت به یک!

تعریف جمع مستقیم می‌گوید نمایش تک‌تک بی‌نهایت بردار فضا باید یکتا باشد. این قضیه شاهکار جبر خطی است: برای اثبات جمع مستقیم بودن، نیازی به بررسی تک‌تک بردارها نیست؛ فقط و فقط کافی است یکتایی نمایش بردار صفر ($\mathbf{0}$) را بررسی کنید!

قضیه ۴۱.۱ آکسلر (آزمون حیاتی یکتایی صفر)

فرض کنید $V_1, \dots, V_m$ زیرفضاهایی از فضای برداری $V$ باشند. در این صورت، جمع $V_1 + \dots + V_m$ یک جمع مستقیم است اگر و تنها اگر تنها راه نوشتن بردار صفر به صورت مجموع:

$$v_1 + \dots + v_m = \mathbf{0} \quad (v_k \in V_k)$$

این باشد که تمام مولفه‌ها صفر باشند:

$$v_1 = v_2 = \dots = v_m = \mathbf{0}$$

اثبات کامل قضیه ۴۱.۱

جهت رفت ($\implies$):

فرض کنید جمع $V_1 + \dots + V_m$ یک جمع مستقیم باشد. طبق تعریف جمع مستقیم، هر عضو این مجموعه دارای نمایش منحصربه‌فرد است. از آنجا که هر $V_k$ زیرفضاست، داریم $\mathbf{0} \in V_k$ برای هر $k$. بنابراین می‌توان بردار صفر را به صورت زیر نوشت:

$$\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0} + \dots + \mathbf{0} \quad (\mathbf{0} \in V_k)$$

از فرض یکتایی نمایش در جمع مستقیم، این نمایش باید تنها راه ممکن باشد. بنابراین اگر برای بردارهایی مانند $v_k \in V_k$ داشته باشیم $v_1 + \dots + v_m = \mathbf{0}$، الزاماً باید $v_1 = \dots = v_m = \mathbf{0}$. $\checkmark$

---

جهت برگشت ($\impliedby$):

فرض کنید تنها راه نوشتن بردار صفر به صورت $v_1 + \dots + v_m = \mathbf{0}$ با $v_k \in V_k$ این باشد که $v_1 = \dots = v_m = \mathbf{0}$. اکنون می‌خواهیم ثابت کنیم جمع $V_1 + \dots + V_m$ یک جمع مستقیم است.

گام اول: در نظر گرفتن یک بردار با دو نمایش فرض کنید بردار دلخواه $v \in V_1 + \dots + V_m$ به دو شیوه به صورت مجموع اعضای زیرفضاها نوشته شود:

$$v = v_1 + v_2 + \dots + v_m \quad (v_k \in V_k)$$

$$v = u_1 + u_2 + \dots + u_m \quad (u_k \in V_k)$$

گام دوم: تفریق دو معادله با تفریق دو تساوی بالا از یکدیگر داریم:

$$v - v = (v_1 + v_2 + \dots + v_m) - (u_1 + u_2 + \dots + u_m)$$

با استفاده از خواص جابه‌جایی و شرکت‌پذیری جمع:

$$\mathbf{0} = (v_1 - u_1) + (v_2 - u_2) + \dots + (v_m - u_m)$$

گام سوم: بررسی عضویت در زیرفضاها چون هر $V_k$ یک زیرفضا است، تحت تفریق بسته است:

$$\forall k \in \{1, \dots, m\}: \quad (v_k - u_k) \in V_k$$

گام چهارم: اعمال فرض قضیه بر بردار صفر معادله گام دوم، نمایش بردار صفر به عنوان مجموعی از عناصر متعلق به $V_1, \dots, V_m$ است. اما طبق فرض برگشت، تنها راه نوشتن بردار صفر این است که تک‌تک جملات برابر صفر باشند:

$$v_1 - u_1 = \mathbf{0} \implies v_1 = u_1$$

$$v_2 - u_2 = \mathbf{0} \implies v_2 = u_2$$

$$\vdots$$

$$v_m - u_m = \mathbf{0} \implies v_m = u_m$$

نتیجه نهایی: هر دو نمایش مفروض برای $v$ دقیقاً یکی بودند. پس نمایش هر بردار کاملاً منحصربه‌فرد است و بنا به تعریف، جمع $V_1 + \dots + V_m$ یک جمع مستقیم است:

$$V_1 \oplus \dots \oplus V_m \quad \blacksquare$$

پیوند مفهومی عمیق

این قضیه دقیقاً مشابه تعریف استقلال خطی (Linear Independence) برای بردارها است:

• مجموعه‌ای از بردارها $\{v_1, \dots, v_m\}$ مستقل خطی هستند اگر $c_1 v_1 + \dots + c_m v_m = \mathbf{0}$ فقط و فقط با $c_1 = \dots = c_m = 0$ ممکن باشد.
• به همین قیاس، مجموعه‌ای از زیرفضاها $\{V_1, \dots, V_m\}$ مستقل هستند (جمع مستقیم می‌سازند) اگر $v_1 + \dots + v_m = \mathbf{0}$ فقط و فقط با $v_1 = \dots = v_m = \mathbf{0}$ ممکن باشد.