صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، مفاهیم و قضایای بخش ۳.۱)

فرض کنید فضای برداری $\mathbb{R}^3$ را در نظر داریم.

بخش اول (صفحه و خط): فرض کنید زیرفضاهای $U$ و $W$ به صورت زیر تعریف شده باشند:

$$U = \big\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0 \big\}$$

$$W = \big\{ (t, 2t, 3t) \in \mathbb{R}^3 : t \in \mathbb{R} \big\}$$

بررسی کنید آیا $\mathbb{R}^3 = U \oplus W$ است یا خیر؟ (اثبات دو شرط $U + W = \mathbb{R}^3$ و $U \cap W = \{0\}$).

بخش دوم (سه خط در $\mathbb{R}^3$ و دام جمع مستقیم): سه زیرفضای یک‌بعدی زیر را در نظر بگیرید:

$$U_1 = \operatorname{span}\big( (1, 0, 0) \big), \quad U_2 = \operatorname{span}\big( (0, 1, 0) \big), \quad U_3 = \operatorname{span}\big( (1, 1, 0) \big)$$

الف) نشان دهید $U_1 \cap U_2 = \{0\}$، $U_1 \cap U_3 = \{0\}$ و $U_2 \cap U_3 = \{0\}$. ب) آیا جمع $U_1 + U_2 + U_3$ مستقیم است؟ چرا شرط اشتراک دو به دو برای ۳ زیرفضا کافی نیست؟

حل دقیق و محاسبات گام‌به‌گام

حل بخش اول: بررسی $\mathbb{R}^3 = U \oplus W$

گام اول: بررسی اشتراک $U \cap W$ فرض کنید بردار $v = (x, y, z) \in U \cap W$ باشد. چون $v \in W$، پس به ازای یک عدد حقیقی $t$ داریم:

$$x = t, \quad y = 2t, \quad z = 3t$$

از طرفی چون $v \in U$، باید در معادله مشخصه $U$ صدق کند:

$$x + y + z = 0 \implies t + 2t + 3t = 0 \implies 6t = 0 \implies t = 0$$

با قرار دادن $t = 0$ در مختصات بردار:

$$v = (0, 2(0), 3(0)) = (0, 0, 0)$$

بنابراین تنها بردار مشترک دو زیرفضا، بردار صفر است:

$$U \cap W = \{(0, 0, 0)\} = \{0\} \quad \checkmark$$

گام دوم: بررسی پوشش فضا ($U + W = \mathbb{R}^3$) فرض کنید $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ یک بردار دلخواه باشد. می‌خواهیم آن را به صورت زیر تجزیه کنیم:

$$(a, b, c) = u + w, \quad u = (x, y, z) \in U, \quad w = (t, 2t, 3t) \in W$$

در این صورت:

$$u = (a, b, c) - w = (a - t, \, b - 2t, \, c - 3t)$$

برای اینکه $u \in U$ باشد، باید مجموع مؤلفه‌های آن صفر شود:

$$(a - t) + (b - 2t) + (c - 3t) = 0$$

با ساده‌سازی جبری:

$$(a + b + c) - 6t = 0 \implies t = \frac{a + b + c}{6}$$

با انتخاب این مقدار $t$، بردار $w \in W$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$w = \Big( \frac{a+b+c}{6}, \, 2\frac{a+b+c}{6}, \, 3\frac{a+b+c}{6} \Big) \in W$$

و بردار $u$ نیز برابر خواهد بود با:

$$u = (a, b, c) - w \in U$$

بنابراین هر بردار دلخواه از $\mathbb{R}^3$ به جمع یک عضو از $U$ و یک عضو از $W$ تجزیه شد؛ یعنی $U + W = \mathbb{R}^3$.

نتیجه بخش اول: چون هم $U + W = \mathbb{R}^3$ و هم $U \cap W = \{0\}$، در نتیجه:

$$\mathbb{R}^3 = U \oplus W$$

---

حل بخش دوم: تحلیل تله جمع مستقیم برای چند زیرفضا

سه زیرفضا را با بردارهای پایه آن‌ها مشخص می‌کنیم:

$$U_1 = \{ (x, 0, 0) : x \in \mathbb{R} \}, \quad U_2 = \{ (0, y, 0) : y \in \mathbb{R} \}, \quad U_3 = \{ (z, z, 0) : z \in \mathbb{R} \}$$

الف) بررسی اشتراک‌های دو به دو:

• $U_1 \cap U_2$: برداری که هم $y=0, z=0$ داشته باشد و هم $x=0, z=0$. پس $x=y=z=0 \implies U_1 \cap U_2 = \{0\}$.
• $U_1 \cap U_3$: برداری که $y=0$ باشد و در عین حال $x=z$ و $y=z$ باشد. پس $z=0$ و در نتیجه $x=0 \implies U_1 \cap U_3 = \{0\}$.
• $U_2 \cap U_3$: مشابهاً $x=0$ و $x=z \implies z=0 \implies y=0 \implies U_2 \cap U_3 = \{0\}$.

ب) بررسی جمع مستقیم $U_1 + U_2 + U_3$: بردار صفر را در نظر بگیرید. می‌خواهیم ببینیم آیا نمایش صفر یکتاست؟ بردارهای زیر را انتخاب می‌کنیم:

$$u_1 = (1, 0, 0) \in U_1, \quad u_2 = (0, 1, 0) \in U_2, \quad u_3 = (-1, -1, 0) \in U_3$$

اکنون این سه بردار ناصفر را با هم جمع می‌کنیم:

$$u_1 + u_2 + u_3 = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (-1, -1, 0) = (0, 0, 0) = 0$$

مشاهده فاجعه‌بار: بردار صفر به صورت جمع سه بردار ناصفر نوشته شد! طبق تعریف اساسی جمع مستقیم (تعریف ۴۴.۱ آکسلر)، اگر جمع مستقیم بود، تنها راه جمع شدن به صفر باید $u_1 = u_2 = u_3 = 0$ می‌بود. بنابراین جمع $U_1 + U_2 + U_3$ مستقیم نیست!

علت مفهومی: هر سه زیرفضا در صفحه $xy$ واقع شده‌اند. بنابراین:

$$U_3 \subseteq U_1 + U_2$$

به بیان دیگر، اشتراک $U_3$ با مجموع دو زیرفضای دیگر صفر نیست:

$$U_3 \cap (U_1 + U_2) = U_3 \neq \{0\}$$

این نشان می‌دهد که شرط اشتراک دو به دو شرطی بسیار ضعیف است و برای مستقیم بودن جمع چند زیرفضا کفایت نمی‌کند. $\blacksquare$

هشدارهای طلایی برای آزمون میان‌ترم

1. اشتباه فاحش در تعمیم شرط اشتراک: به یاد داشته باشید:
   • برای دو زیرفضا: $U \cap W = \{0\} \iff$ جمع مستقیم است.
   • برای سه زیرفضا یا بیشتر: $U_i \cap U_j = \{0\}$ به هیچ وجه تضمین‌کننده جمع مستقیم نیست!
   • شرط لازم و کافی بر حسب اشتراک برای $m$ زیرفضا این است که: $$\forall j: \quad U_j \cap (U_1 + \dots + U_{j-1} + U_{j+1} + \dots + U_m) = \{0\}$$
2. اثبات یکتایی نمایش بدون اثبات پوشش: برخی دانشجویان فقط $U \cap W = \{0\}$ را چک می‌کنند و فراموش می‌کنند نشان دهند که $U + W = V$ است. جمع مستقیم بودن یک جمع ($U \oplus W$) به معنای مساوی بودن آن با کل فضا ($V$) نیست مگر آنکه پوشش $V = U + W$ نیز اثبات شود.