صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، تمرین ۲۴ بخش ۳.۱)

یک تابع $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ زوج نامیده می‌شود اگر برای هر $x \in \mathbb{R}$ داشته باشیم $f(-x) = f(x)$. یک تابع $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ فرد نامیده می‌شود اگر برای هر $x \in \mathbb{R}$ داشته باشیم $f(-x) = -f(x)$. فرض کنید $V_e$ مجموعه تمام توابع زوج با مقدار حقیقی و $V_o$ مجموعه تمام توابع فرد با مقدار حقیقی روی $\mathbb{R}$ باشند. ثابت کنید فضای تمام توابع حقیقی به صورت جمع مستقیم توابع زوج و فرد تجزیه می‌شود؛ یعنی:

$$\mathbb{R}^{\mathbb{R}} = V_e \oplus V_o$$

حل کامل و بدون پرش تحلیلی

گام اول: اثبات زیرفضا بودن $V_e$ و $V_o$

برای $V_e$ (توابع زوج):

1. تابع صفر: تابع صفر با ضابطه $\mathbf{0}(x) = 0$ برای هر $x$ برقرار است. $\mathbf{0}(-x) = 0 = \mathbf{0}(x)$، پس $\mathbf{0} \in V_e$.
2. بستگی تحت جمع: اگر $f, g \in V_e$ باشند: $$(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) \implies f + g \in V_e$$
3. بستگی تحت ضرب اسکالر: اگر $c \in \mathbb{R}$ و $f \in V_e$: $$(cf)(-x) = c f(-x) = c f(x) = (cf)(x) \implies cf \in V_e$$ بنابراین $V_e$ یک زیرفضای معتبر است.

برای $V_o$ (توابع فرد):

1. تابع صفر: $\mathbf{0}(-x) = 0 = -0 = -\mathbf{0}(x)$، پس $\mathbf{0} \in V_o$.
2. بستگی تحت جمع: اگر $f, g \in V_o$ باشند: $$(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x) \implies f + g \in V_o$$
3. بستگی تحت ضرب اسکالر: اگر $c \in \mathbb{R}$ و $f \in V_o$: $$(cf)(-x) = c f(-x) = c(-f(x)) = -(c f(x)) = -(cf)(x) \implies cf \in V_o$$ بنابراین $V_o$ نیز یک زیرفضای معتبر است.

---

گام دوم: اثبات اشتراک صفر ($V_e \cap V_o = \{ \mathbf{0} \}$)

فرض کنید تابعی مانند $h$ در اشتراک هر دو زیرفضا باشد: $h \in V_e \cap V_o$.

• چون $h \in V_e$ است: برای هر $x \in \mathbb{R}$ داریم $h(-x) = h(x)$.
• چون $h \in V_o$ است: برای هر $x \in \mathbb{R}$ داریم $h(-x) = -h(x)$. با مساوی قرار دادن این دو رابطه: $$h(x) = -h(x) \implies h(x) + h(x) = 0 \implies 2h(x) = 0$$ چون در میدان اعداد حقیقی $\mathbb{R}$، عدد ۲ ناصفر است، طرفین را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: $$h(x) = 0 \quad (\forall x \in \mathbb{R})$$ این یعنی $h$ همان تابع ثابت صفر ($\mathbf{0}$) است. بنابراین: $$V_e \cap V_o = \{ \mathbf{0} \} \quad \checkmark$$

---

گام سوم: اثبات پوشش کل فضا ($V_e + V_o = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$)

فرض کنید $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ یک تابع کاملاً دلخواه باشد. دو تابع $f_e$ و $f_o$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$f_e(x) := \frac{f(x) + f(-x)}{2}$$

$$f_o(x) := \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$

۱. آیا $f_e \in V_e$ است؟

$$f_e(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = f_e(x)$$

بله، $f_e$ زوج است و در $V_e$ قرار دارد.

۲. آیا $f_o \in V_o$ است؟

$$f_o(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\frac{f(x) - f(-x)}{2} = -f_o(x)$$

بله، $f_o$ فرد است و در $V_o$ قرار دارد.

۳. آیا مجموع آن‌ها برابر $f$ است؟ به ازای هر $x \in \mathbb{R}$:

$$f_e(x) + f_o(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$$

بنابراین:

$$f = f_e + f_o \in V_e + V_o$$

چون این تجزیه برای هر تابع دلخواه $f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ برقرار است، نتیجه می‌شود:

$$\mathbb{R}^{\mathbb{R}} = V_e + V_o \quad \checkmark$$

---

گام چهارم: نتیجه‌گیری نهایی

از برقراری همزمان اشتراک تریویال ($V_e \cap V_o = \{ \mathbf{0} \}$) و پوشش کل فضا ($\mathbb{R}^{\mathbb{R}} = V_e + V_o$)، مستقیماً نتیجه می‌شود:

$$\mathbb{R}^{\mathbb{R}} = V_e \oplus V_o$$

حکم مسئله با کمال دقت اثبات شد. $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو در آزمون

1. فراموش کردن اثبات زیرفضا بودن: بسیاری از دانشجویان مستقیماً به سراغ فرمول $f_e$ و $f_o$ می‌روند بدون اینکه ابتدا اثبات کنند $V_e$ و $V_o$ زیرفضا هستند! بدون اثبات زیرفضا بودن، مفهوم جمع مستقیم اصولاً بی‌معنی است.
2. وابستگی به پیوستگی یا مشتق: دقت کنید که مسئله هیچ قیدی روی پیوستگی، مشتق‌پذیری یا پیوستگی توابع نگذاشته است. این تجزیه برای تمامی توابع عجیب و غریب و ناپیوسته (مانند تابع علامت یا تابع دیریکله) نیز معتبر است.
3. تقسیم بر ۲ در میدان‌های با مشخصه ۲: اگر دامنه یا برد در میدانی با مشخصه ۲ باشد ($1+1=0$)، این تجزیه با تقسیم بر ۲ با شکست مواجه می‌شود؛ تصریح کنید که میدان $\mathbb{R}$ است.