پیام کلیدی قضیه در یک جمله

برای سه زیرفضا یا بیشتر، اشتراک دوبه‌دو مساوی صفر ($V_i \cap V_j = \{\mathbf{0}\}$) ابداً کافی نیست! شرط لازم و کافی برای جمع مستقیم بودن این است که هر زیرفضا، با جمع تمام زیرفضاهای دیگر تنها در بردار صفر اشتراک داشته باشد.

قضیه ۴۴.۱ (معیار جامع جمع مستقیم برای $m$ زیرفضا)

فرض کنید $V_1, \dots, V_m$ زیرفضاهایی از فضای برداری $V$ باشند. جمع $V_1 + \dots + V_m$ یک جمع مستقیم ($V_1 \oplus \dots \oplus V_m$) است اگر و تنها اگر به ازای هر $j \in \{1, \dots, m\}$:

$$V_j \cap (V_1 + \dots + V_{j-1} + V_{j+1} + \dots + V_m) = \{\mathbf{0}\}$$

(شکل استقرایی معادل): این شرط هم‌ارز است با اینکه برای هر $j \in \{2, \dots, m\}$ داشته باشیم:

$$V_j \cap (V_1 + \dots + V_{j-1}) = \{\mathbf{0}\}$$

اثبات کامل قضیه ۴۴.۱

جهت رفت ($\implies$):

فرض کنید جمع $V_1 + \dots + V_m$ یک جمع مستقیم باشد. عدد دلخواه $j \in \{1, \dots, m\}$ را تثبیت کنید. می‌خواهیم ثابت کنیم:

$$V_j \cap \left( \sum_{k \neq j} V_k \right) = \{\mathbf{0}\}$$

۱. فرض کنید بردار $v$ عضوی از این اشتراک باشد:

$$v \in V_j \cap \left( \sum_{k \neq j} V_k \right)$$

۲. چون $v \in \sum_{k \neq j} V_k$ است، پس بردارهایی مانند $v_k \in V_k$ (به ازای $k \neq j$) وجود دارند به طوری که:

$$v = \sum_{k \neq j} v_k$$

۳. با تفریق $v$ از دو طرف معادله داریم:

$$\mathbf{0} = \left( \sum_{k \neq j} v_k \right) - v$$

این معادله را می‌توان با قرار دادن $v_j = -v$ به صورت زیر نوشت:

$$v_1 + \dots + v_{j-1} + (-v) + v_{j+1} + \dots + v_m = \mathbf{0}$$

۴. از آنجا که $v \in V_j$ و $V_j$ زیرفضاست، پس $-v \in V_j$. ۵. بنابراین ما بردار صفر را به صورت مجموعی از عناصر این زیرفضاها نوشته‌ایم. ۶. اما طبق فرض، جمع مستقیم است؛ بنابراین طبق قضیه ۴۱.۱، تک‌تک مولفه‌های این جمع باید صفر باشند. پس به ویژه:

$$-v = \mathbf{0} \implies v = \mathbf{0}$$

۷. بنابراین اشتراک فوق نمی‌تواند هیچ عنصر ناصفری داشته باشد؛ یعنی:

$$V_j \cap \left( \sum_{k \neq j} V_k \right) = \{\mathbf{0}\} \quad \checkmark$$

---

جهت برگشت ($\impliedby$):

فرض کنید برای هر $j \in \{1, \dots, m\}$ شرط اشتراک صفر با جمع سایر زیرفضاها برقرار باشد:

$$V_j \cap \left( \sum_{k \neq j} V_k \right) = \{\mathbf{0}\}$$

می‌خواهیم ثابت کنیم جمع زیرفضاها مستقیم است. طبق قضیه ۴۱.۱، کافی است فرض کنیم:

$$v_1 + \dots + v_m = \mathbf{0} \quad (v_k \in V_k)$$

و نشان دهیم که تمام $v_k$ها صفر هستند.

۱. یک شاخص دلخواه $j \in \{1, \dots, m\}$ را در نظر بگیرید. ۲. بردار $v_j$ را در یک سمت نگه داشته و سایر جملات را به سمت دیگر معادله منتقل می‌کنیم:

$$-v_j = \sum_{k \neq j} v_k$$

۳. سمت چپ معادله: چون $v_j \in V_j$ و $V_j$ زیرفضا است، پس $-v_j \in V_j$. ۴. سمت راست معادله: مجموع عناصری از زیرفضاهای غیر از $j$ است؛ پس به مجموعه $\sum_{k \neq j} V_k$ تعلق دارد. ۵. چون سمت چپ و راست با هم برابرند، پس این بردار به اشتراک هر دو تعلق دارد:

$$-v_j \in V_j \cap \left( \sum_{k \neq j} V_k \right)$$

۶. اما طبق فرض، این اشتراک فقط و فقط شامل بردار صفر است! بنابراین:

$$-v_j = \mathbf{0} \implies v_j = \mathbf{0}$$

۷. چون این استدلال برای تک‌تک $j \in \{1, \dots, m\}$ به طور مستقل برقرار است، نتیجه می‌گیریم:

$$v_1 = v_2 = \dots = v_m = \mathbf{0}$$

طبق قضیه ۴۱.۱، این یکتایی برای بردار صفر اثبات می‌کند که جمع زیرفضاها یک جمع مستقیم است:

$$V_1 \oplus \dots \oplus V_m \quad \blacksquare$$

چک‌لیست طلایی تصمیم‌گیری

برای بررسی مستقیم بودن جمع زیرفضاها:

• اگر دقیقاً ۲ زیرفضا دارید: فقط اشتراک آنها را حساب کنید. اگر $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$، تمام است! (قضیه ۴۲.۱)
• اگر ۳ یا چند زیرفضا دارید:
  • هرگز به اشتراک‌های دوبه‌دو بسنده نکنید!
  • روش الف: بررسی کنید آیا بردار صفر راه ناصفری برای تولید دارد؟ (قضیه ۴۱.۱)
  • روش ب: بررسی کنید آیا هیچ‌یک از زیرفضاها در جمع بقیه قرار می‌گیرد؟ (قضیه ۴۴.۱)