صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید

$$U = \{(x, y, x + y, x - y, 2x) \in \mathbb{F}^5 : x, y \in \mathbb{F}\}$$

سه زیرفضا $W_1, W_2, W_3$ از $\mathbb{F}^5$ پیدا کنید، که هیچ‌کدام برابر $\{0\}$ نباشد، به طوری که

$$\mathbb{F}^5 = U \oplus W_1 \oplus W_2 \oplus W_3$$

ساخت زیرفضاها و اثبات قضیه جمع مستقیم ۴ زیرفضا

گام اول: تعریف سه زیرفضای $W_1, W_2, W_3$ سه زیرمجموعه از $\mathbb{F}^5$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

1. $W_1 = \{(0, 0, a, 0, 0) \in \mathbb{F}^5 : a \in \mathbb{F}\}$
2. $W_2 = \{(0, 0, 0, b, 0) \in \mathbb{F}^5 : b \in \mathbb{F}\}$
3. $W_3 = \{(0, 0, 0, 0, c) \in \mathbb{F}^5 : c \in \mathbb{F}\}$

بررسی شرایط اولیه:

• هر یک از این سه مجموعه خطوط گذرنده از مبدا هستند و به وضوح زیرفضای $\mathbb{F}^5$ می‌باشند.
• هیچ‌یک برابر با $\{\mathbf{0}\}$ نیستند؛ زیرا برای نمونه بردار پایه استاندارد $e_3 = (0, 0, 1, 0, 0) \in W_1$، بردار $e_4 = (0, 0, 0, 1, 0) \in W_2$، و بردار $e_5 = (0, 0, 0, 0, 1) \in W_3$ بردارهای ناصفر هستند: $$W_1 \neq \{\mathbf{0}\}, \quad W_2 \neq \{\mathbf{0}\}, \quad W_3 \neq \{\mathbf{0}\}$$

گام دوم: اثبات جمع مستقیم با آزمون بردار صفر (قضیه ۴۴.۱ آکسلر) طبق قضیه ۴۴.۱، حاصل جمع زیرفضاها مستقیم است اگر و تنها اگر رابطه:

$$u + w_1 + w_2 + w_3 = \mathbf{0}$$

(که در آن $u \in U$ و $w_1 \in W_1$ و $w_2 \in W_2$ و $w_3 \in W_3$) نتیجه دهد:

$$u = \mathbf{0}, \quad w_1 = \mathbf{0}, \quad w_2 = \mathbf{0}, \quad w_3 = \mathbf{0}$$

بردارها را به صورت مؤلفه‌ای باز می‌کنیم:

• $u = (x, y, x + y, x - y, 2x)$ به ازای مقادیری از $x, y \in \mathbb{F}$.
• $w_1 = (0, 0, a, 0, 0)$ به ازای $a \in \mathbb{F}$.
• $w_2 = (0, 0, 0, b, 0)$ به ازای $b \in \mathbb{F}$.
• $w_3 = (0, 0, 0, 0, c)$ به ازای $c \in \mathbb{F}$.

معادله جمع بردارها:

$$(x, y, x + y + a, x - y + b, 2x + c) = (0, 0, 0, 0, 0)$$

با مساوی قرار دادن تک‌تک مؤلفه‌ها با صفر:

1. مؤلفه اول: $x = 0$
2. مؤلفه دوم: $y = 0$ چون $x = 0$ و $y = 0$ است، بلافاصله نتیجه می‌شود: $$u = (0, 0, 0, 0, 0) = \mathbf{0}$$

حال مقادیر $x = 0$ و $y = 0$ را در سه مؤلفه بعدی قرار می‌دهیم: 3. مؤلفه سوم: $x + y + a = 0 \implies 0 + 0 + a = 0 \implies a = 0 \implies w_1 = \mathbf{0}$ 4. مؤلفه چهارم: $x - y + b = 0 \implies 0 - 0 + b = 0 \implies b = 0 \implies w_2 = \mathbf{0}$ 5. مؤلفه پنجم: $2x + c = 0 \implies 2(0) + c = 0 \implies c = 0 \implies w_3 = \mathbf{0}$

بنابراین تنها راه تولید بردار صفر این است که تمام بردارها صفر باشند. این اثبات می‌کند که جمع $U + W_1 + W_2 + W_3$ یک جمع مستقیم است.

گام سوم: اثبات پوشش کل فضا ($\mathbb{F}^5$) هر بردار دلخواه $v = (v_1, v_2, v_3, v_4, v_5) \in \mathbb{F}^5$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$v = \underbrace{(v_1, v_2, v_1 + v_2, v_1 - v_2, 2v_1)}_{\in U} + \underbrace{(0, 0, v_3 - v_1 - v_2, 0, 0)}_{\in W_1} + \underbrace{(0, 0, 0, v_4 - v_1 + v_2, 0)}_{\in W_2} + \underbrace{(0, 0, 0, 0, v_5 - 2v_1)}_{\in W_3}$$

هر ۴ بردار به ترتیب به زیرفضاهای $U, W_1, W_2, W_3$ تعلق دارند. بنابراین:

$$\mathbb{F}^5 = U \oplus W_1 \oplus W_2 \oplus W_3$$

$\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• تله آزمون اشتراک دو به دو: برای بیش از دو زیرفضا، هرگز نباید از آزمون اشتراک دو به دو ($W_i \cap W_j = \{0\}$) استفاده کرد! طبق تذکر مهم بخش ۳.۱ آکسلر، ممکن است اشتراک دو به دو صفر باشد اما جمع مستقیم نباشد (مثال ۴۴.۱ آکسلر). برای بیش از دو زیرفضا، تنها ملاک معتبر آزمون تجزیه یکتای بردار صفر (قضیه ۴۴.۱) است.