فرض کنید

یک زیرفضا $W$ از $\mathbb{F}^5$ پیدا کنید به طوری که

گام اول: تعریف زیرفضای $W$ مجموعه $W$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

به سادگی مشاهده می‌شود که $W$ شامل بردار صفر است و تحت جمع و ضرب اسکالر بسته است؛ بنابراین $W$ یک زیرفضای $\mathbb{F}^5$ است (در واقع $W = \operatorname{span}(e_3, e_4, e_5)$).

**گام دوم: بررسی شرط اشتراک صفر ($U \cap W = \{\mathbf{0}\})** فرض کنید بردار$v = (v_1, v_2, v_3, v_4, v_5) \in U \cap W$.

• از یک سو چون $v \in U$، مقادیر $x, y \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که: $$v = (x, y, x + y, x - y, 2x)$$
• از سوی دیگر چون $v \in W$، دو مؤلفه اول باید صفر باشند: $$v_1 = 0 \quad \text{و} \quad v_2 = 0$$ بنابراین: $$x = v_1 = 0 \quad \text{و} \quad y = v_2 = 0$$ با قرار دادن $x = 0$ و $y = 0$ در فرمول بردار $U$: $$v = (0, 0, 0 + 0, 0 - 0, 2(0)) = (0, 0, 0, 0, 0) = \mathbf{0}$$ پس تنها بردار مشترک در $U$ و $W$ بردار صفر است: $$U \cap W = \{\mathbf{0}\}$$

گام سوم: بررسی شرط مجموع ($\mathbb{F}^5 = U + W$) فرض کنید $v = (v_1, v_2, v_3, v_4, v_5) \in \mathbb{F}^5$ یک بردار دلخواه باشد. می‌خواهیم بردار $v$ را به صورت حاصل‌جمع $v = u + w$ بنویسیم که در آن $u \in U$ و $w \in W$. برای عضویت در $U$، دو مؤلفه اول باید برابر با $v_1$ و $v_2$ باشند:

بردار متناظر در $U$ را تشکیل می‌دهیم:

حال بردار تفاضل $w = v - u$ را محاسبه می‌کنیم:

دو مؤلفه اول $w$ صفر هستند، بنابراین $w \in W$. در نتیجه:

این نشان می‌دهد که هر بردار از $\mathbb{F}^5$ در $U + W$ قرار دارد، پس:

نتیجه‌گیری: طبق قضیه ۴۲.۱ آکسلر، چون $\mathbb{F}^5 = U + W$ و $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$، جمع مستقیم برقرار است:

$\blacksquare$

• توجه به بعد فضاها: بعد فضای مادر ۵ و بعد زیرفضای $U$ برابر ۲ است. بنابراین متمم جمع مستقیم $W$ حتماً باید زیرفضایی ۳ بعدی باشد. انتخاب ۳ متغیر آزاد در $W$ تضمین‌کننده پوشش ۳ بعد باقی‌مانده است.