فرض کنید

یک زیرفضا $W$ از $\mathbb{F}^4$ پیدا کنید به طوری که

گام اول: تعریف زیرفضای کاندید $W$ زیرمجموعه $W$ از $\mathbb{F}^4$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

بررسی سریع زیرفضا بودن $W$:

• برای $a = b = 0$، بردار $(0, 0, 0, 0) \in W$.
• جمع دو عضو: $(0, a_1, 0, b_1) + (0, a_2, 0, b_2) = (0, a_1 + a_2, 0, b_1 + b_2) \in W$.
• ضرب اسکالر: $c(0, a, 0, b) = (0, ca, 0, cb) \in W$. بنابراین $W$ قطعاً یک زیرفضای $\mathbb{F}^4$ است.

**گام دوم: اثبات شرط اشتراک صفر ($U \cap W = \{\mathbf{0}\})** فرض کنید بردار$v = (v_1, v_2, v_3, v_4) \in U \cap W$.

• چون $v \in U$، طبق تعریف $U$ باید داشته باشیم: $$v_1 = x, \quad v_2 = x, \quad v_3 = y, \quad v_4 = y$$
• از طرف دیگر چون $v \in W$، طبق تعریف $W$ باید داشته باشیم: $$v_1 = 0 \quad \text{و} \quad v_3 = 0$$ با مقایسه این دو دسته رابطه: $$x = v_1 = 0 \implies v_2 = x = 0$$ $$y = v_3 = 0 \implies v_4 = y = 0$$ بنابراین تمام مؤلفه‌های بردار $v$ صفر هستند: $$v = (0, 0, 0, 0) = \mathbf{0}$$ این نشان می‌دهد که: $$U \cap W = \{\mathbf{0}\}$$

گام سوم: اثبات شرط پوشش کل فضا ($U + W = \mathbb{F}^4$) فرض کنید $v = (z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mathbb{F}^4$ یک بردار دلخواه باشد. می‌خواهیم بردار $v$ را به صورت مجموع $v = u + w$ بنویسیم که در آن $u \in U$ و $w \in W$. یعنی باید مقادیر $x, y, a, b \in \mathbb{F}$ را طوری بیابیم که:

با مساوی قرار دادن مؤلفه‌های متناظر:

1. $x = z_1$
2. $x + a = z_2 \implies a = z_2 - x = z_2 - z_1$
3. $y = z_3$
4. $y + b = z_4 \implies b = z_4 - y = z_4 - z_3$

از آنجا که $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mathbb{F}$ هستند، مقادیر $x, y, a, b$ همگی در میدان $\mathbb{F}$ خوش‌تعریف هستند. بنابراین می‌توانیم بردار $v$ را به صورت صریح زیر بنویسیم:

چون هر بردار دلخواه از $\mathbb{F}^4$ به صورت حاصل‌جمع عنصری از $U$ و عنصری از $W$ بیان شد:

نتیجه‌گیری: با برقراری دو شرط $U + W = \mathbb{F}^4$ و $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$، طبق قضیه ۴۲.۱ آکسلر نتیجه می‌شود:

$\blacksquare$

• توجه کنید که متمم جمع مستقیم هرگز یکتا نیست! به عنوان مثال، زیرفضای $W' = \{(a, 0, b, 0) : a, b \in \mathbb{F}\}$ نیز دقیقاً همین خاصیت را دارد و $\mathbb{F}^4 = U \oplus W'$ را برآورده می‌کند. هر زیرفضای دوبعدی که خطوط آن با $U$ هم‌پوشانی غیرصفر نداشته باشند، یک جواب کاملاً معتبر است.