فرض کنید

و

$U + W$ را با استفاده از نمادها توصیف کنید، و همچنین توصیفی از $U + W$ ارائه دهید که از هیچ نمادی استفاده نمی‌کند.

گام اول: تشکیل بردار عمومی در $U + W$ طبق تعریف جمع دو زیرفضا:

برای هر $u \in U$، یک اسکالر $x \in \mathbb{F}$ وجود دارد به طوری که $u = (x, -x, 2x)$. برای هر $w \in W$، یک اسکالر $y \in \mathbb{F}$ وجود دارد به طوری که $w = (y, y, 2y)$. بنابراین هر بردار $v \in U + W$ به صورت زیر است:

گام دوم: استخراج معادله مشخصه زیرفضای جمع فرض کنید $v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb{F}^3$. در این صورت:

1. $v_1 = x + y$
2. $v_2 = y - x$
3. $v_3 = 2(x + y) = 2v_1$

از طرفی، دستگاه دو معادله و دو مجهول زیر را برای $x$ و $y$ در نظر بگیرید:

با جمع دو معادله داریم $2y = v_1 + v_2 \implies y = \frac{v_1 + v_2}{2}$. با تفریق دو معادله داریم $2x = v_1 - v_2 \implies x = \frac{v_1 - v_2}{2}$. این یعنی به ازای هر دو مقدار دلخواه $v_1, v_2 \in \mathbb{F}$، همواره مقادیر یکتایی برای $x, y \in \mathbb{F}$ وجود دارند. تنها شرط لازم و کافی برای عضویت در $U + W$ این است که مؤلفه سوم برابر با دو برابر مؤلفه اول باشد ($v_3 = 2v_1$).

گام سوم: توصیف با استفاده از نمادها (Symbolic Description)

یا به صورت پارامتری:

گام چهارم: توصیف بدون استفاده از هیچ نمادی (Verbal Description) «مجموعه تمام بردارها در فضای سه بعدی که مؤلفه سوم آن‌ها دو برابر مؤلفه اول است.» (یا از دیدگاه هندسی در فضای حقیقی: صفحه‌ای گذرنده از مبدا مختصات شامل تمام نقاطی که مختصات سوم آن‌ها همواره دو برابر مختصات اولشان است و مختصات دوم مقداری کاملاً دلخواه دارد). $\blacksquare$

• اشتباه رایج این است که فرض کنید متغیر $x$ در هر دو مجموعه $U$ و $W$ یکی است؛ یعنی بنویسید $(x, -x, 2x) + (x, x, 2x) = (2x, 0, 4x)$! در جمع زیرفضاها، بردارهای انتخاب شده از $U$ و $W$ کاملاً مستقل‌اند و متغیرهای مستقلی دارند ($x$ و $y$).