یک تابع $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ زوج نامیده می‌شود اگر $f(-x) = f(x)$، برای هر $x \in \mathbb{R}$. یک تابع $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ فرد نامیده می‌شود اگر $f(-x) = -f(x)$، برای هر $x \in \mathbb{R}$. فرض کنید $V_e$ مجموعه‌ی توابع زوج حقیقی‌مقدار روی $\mathbb{R}$ و $V_o$ مجموعه‌ی توابع فرد حقیقی‌مقدار روی $\mathbb{R}$ را نشان دهد. نشان دهید که

گام اول: اثبات اینکه $V_e$ و $V_o$ زیرفضاهای $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ هستند

۱. بررسی زیرفضا بودن $V_e$ (توابع زوج):

• تابع همواره صفر $z(x) = 0$: $z(-x) = 0 = z(x)$، پس $z \in V_e$.
• اگر $f, g \in V_e$ و $c \in \mathbb{R}$: $$(cf + g)(-x) = c f(-x) + g(-x) = c f(x) + g(x) = (cf + g)(x)$$ بنابراین $cf + g \in V_e$. پس $V_e$ یک زیرفضاست.

۲. بررسی زیرفضا بودن $V_o$ (توابع فرد):

• تابع همواره صفر $z(x) = 0$: $z(-x) = 0 = -0 = -z(x)$، پس $z \in V_o$.
• اگر $f, g \in V_o$ و $c \in \mathbb{R}$: $$(cf + g)(-x) = c f(-x) + g(-x) = c(-f(x)) + (-g(x)) = -(c f(x) + g(x)) = -(cf + g)(x)$$ بنابراین $cf + g \in V_o$. پس $V_o$ نیز یک زیرفضاست.

گام دوم: اثبات شرط اشتراک صفر ($V_e \cap V_o = {\mathbf{0}})

فرض کنید تابع $h \in V_e \cap V_o$ باشد. طبق تعریف این دو مجموعه، برای هر $x \in \mathbb{R}$ داریم:

• چون $h \in V_e$: $h(-x) = h(x)$
• چون $h \in V_o$: $h(-x) = -h(x)$ با مساوی قرار دادن دو طرف چپ: $$h(x) = -h(x)$$ با اضافه کردن $h(x)$ به دو طرف: $$2h(x) = 0 \implies h(x) = 0 \quad (\forall x \in \mathbb{R})$$ این نشان می‌دهد که تابع $h$ دقیقاً همان تابع همواره صفر ($h = \mathbf{0}$) است. بنابراین: $$V_e \cap V_o = \{\mathbf{0}\}$$

گام سوم: اثبات شرط جمع ($\mathbb{R}^\mathbb{R} = V_e + V_o$)

فرض کنید $f \in \mathbb{R}^\mathbb{R}$ یک تابع دلخواه باشد. دو تابع $f_e$ و $f_o$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

۱. بررسی زوج بودن $f_e$:

بنابراین $f_e \in V_e$.

۲. بررسی فرد بودن $f_o$:

بنابراین $f_o \in V_o$.

۳. بررسی مجموع:

بنابراین $f = f_e + f_o$ که در آن $f_e \in V_e$ و $f_o \in V_o$. این نشان می‌دهد که هر تابع حقیقی دلخواه را می‌توان به صورت مجموع یک تابع زوج و یک تابع فرد نوشت:

نتیجه‌گیری نهایی

بر اساس قضیه ۴۲.۱ آکسلر، چون $\mathbb{R}^\mathbb{R} = V_e + V_o$ و $V_e \cap V_o = \{\mathbf{0}\}$، جمع این دو زیرفضا مستقیم است و کل فضای توابع را می‌سازد:

$\blacksquare$

• یکتایی نمایش: طبق قضیه ۴۱.۱ آکسلر، جمع مستقیم معادل با این است که نمایش هر تابع به صورت مجموع تابع زوج و فرد یکتا باشد. فرمول‌های $f_e$ و $f_o$ تنها راه ممکن برای نوشتن یک تابع به صورت جمع تابع زوج و فرد هستند.