رفتن به متن
باغ ریاضی
تعریف ۱۱.۱ فضای Fn و مختصات
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تعریف ۱۱.۱ فضای Fn و مختصات

#تعریف#مفهوم#فضا#مختصات#فصل_۱#جبر_خطینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تعریف ۱۱.۱: فضای Fn\mathbb{F}^n و مختصات (The Space F^n and Coordinates)

چکیده مفهومی

فضای Fn\mathbb{F}^n مجموعه تمام لیست‌های به طول nn است که عناصر آن‌ها از میدان اسکالرها F\mathbb{F} (یعنی R\mathbb{R} یا C\mathbb{C}) انتخاب شده‌اند؛ و به هر مؤلفه در این لیست، یک «مختصات» می‌گوییم.

۱. درک شهودی و تصویرسازی

تصور کنید می‌خواهید آدرس یک نقطه در یک شهر چندبعدی را بدهید:

  • در خیابان یک‌بعدی (F1\mathbb{F}^1): فقط یک پلاک لازم دارید: (x1)(x_1).
  • در نقشه مسطح شهر (F2\mathbb{F}^2): دو عدد طول و عرض جغرافیایی: (x1,x2)(x_1, x_2).
  • در فضای هوایی شهر (F3\mathbb{F}^3): طول، عرض و ارتفاع: (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3).
  • در یک سیستم بزرگ داده با nn متغیر (Fn\mathbb{F}^n): یک لیست از nn داده: (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \dots, x_n).

فضای Fn\mathbb{F}^n ظرف جامعی است که تمام این بردارها و نقاط را در دل خود جای می‌دهد.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

تعریف ۱۱.۱ کتاب آکسلر: Fn\mathbb{F}^n، مختصات

Fn\mathbb{F}^n مجموعه تمام لیست‌های به طول nn از عناصر F\mathbb{F} است:

Fn={(x1,…,xn):xk∈F برای k=1,…,n}\mathbb{F}^n = \{ (x_1, \dots, x_n) : x_k \in \mathbb{F} \text{ برای } k = 1, \dots, n \}

برای هر (x1,…,xn)∈Fn(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n و هر k∈{1,…,n}k \in \{1, \dots, n\}، می‌گوییم xkx_k مختصات kk-ام لیست (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n) است.

۳. کالبدشکافی شرایط و سازگاری با گذشته

  • سازگاری کامل با R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3: اگر در این تعریف قرار دهیم F=R\mathbb{F} = \mathbb{R} و n=2n = 2، دقیقاً به مجموعه R2\mathbb{R}^2 (صفحه دکارتی در مثال ۷.۱) می‌رسیم. اگر n=3n = 3 باشد، به فضای سه‌بعدی R3\mathbb{R}^3 می‌رسیم.
  • قدرت دوگانه نماد Fn\mathbb{F}^n:
    • اگر F=R\mathbb{F} = \mathbb{R}، فضای حاصل Rn\mathbb{R}^n است (فضای اقلیدسی حقیقی nn-بعدی).
    • اگر F=C\mathbb{F} = \mathbb{C}، فضای حاصل Cn\mathbb{C}^n است (فضای مختلط nn-بعدی).

۴. مثال‌ها و مصادیق عینی

نمونه‌هایی از عناصر در فضاهای گوناگون

  • در فضای R4\mathbb{R}^4: بردار v=(2,−1,0,5)v = (2, -1, 0, \sqrt{5}) دارای ۴ مختصات است؛ مختصات دوم آن x2=−1x_2 = -1 و مختصات چهارم آن x4=5x_4 = \sqrt{5} است.
  • در فضای C3\mathbb{C}^3: بردار w=(1+i,0,3−2i)w = (1+i, 0, 3-2i) که مختصات‌های آن اعدادی از میدان C\mathbb{C} هستند.

۵. تجسم هندسی مختصات در R2\mathbb{R}^2 (GeoGebra)

نمایش بردار و مختصات اول (x_1 = 3) و مختصات دوم (x_2 = 2) در فضای R^2
  • بردار v از مبدا به نقطه P(3, 2) رسم شده است.
  • مختصات اول روی محور افقی برابر ۳ و مختصات دوم روی محور عمودی برابر ۲ است.
  • این ساختار پایه تشکیل لیست مختصات (x_1, x_2) در فضای F^n است.
کد اصلی رسم
appName: classic
width: 700
height: 380
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Origin = Point({0, 0})"
  - "P = (3, 2)"
  - "O = (0, 0)"
  - "Pt1 = (3, 2)"
  - "v = Vector(O, Pt1)"
  - "Pt2 = (3, 0)"
  - "ProjX = Segment(O, Pt2)"
  - "Pt3 = (0, 2)"
  - "ProjY = Segment(O, Pt3)"
  - "Pt4 = (3, 0)"
  - "Pt5 = (3, 2)"
  - "GuideX = Segment(Pt4, Pt5)"
  - "Pt6 = (0, 2)"
  - "Pt7 = (3, 2)"
  - "GuideY = Segment(Pt6, Pt7)"
caption: "نمایش بردار و مختصات اول (x_1 = 3) و مختصات دوم (x_2 = 2) در فضای R^2"
explain:
  - "بردار v از مبدا به نقطه P(3, 2) رسم شده است."
  - "مختصات اول روی محور افقی برابر ۳ و مختصات دوم روی محور عمودی برابر ۲ است."
  - "این ساختار پایه تشکیل لیست مختصات (x_1, x_2) در فضای F^n است."

۶. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۷

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • مثال ۷.۱ فضاهای R2 و R3
    پیش‌نمایش

    مثال ۷.۱: فضاهای R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3 (The Spaces R^2 and R^3)

    چکیده هندسی

    فضاهای R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3 به ترتیب مدل‌های ریاضی صفحه دو‌بعدی و فضای سه‌بعدی پیرامون ما هستند که از زوج‌ها و سه‌تایی‌های مرتب اعداد حقیقی تشکیل شده‌اند.

  • نماد ۶.۱ میدان اسکالرها F
    پیش‌نمایش

    نماد ۶.۱: میدان اسکالرها F\mathbb{F} (The Field of Scalars)

    پیام کلیدی در یک جمله

    نماد F\mathbb{F} در سراسر کتاب آکسلر نماینده مشترک R\mathbb{R} یا C\mathbb{C} است؛ این نمادگذاری به ما اجازه می‌دهد قضایایی را بنویسیم و اثبات کنیم که همزمان برای هر دو دستگاه اعداد حقیقی و مختلط معتبرند.

  • تعریف ۸.۱ لیست و طول لیست
    پیش‌نمایش

    تعریف ۸.۱: مفهوم لیست و طول آن (List and Length of a List)

    چکیده مفهومی

    یک لیست به طول nn (یا nn-تایی مرتب)، یک گردهمایی مرتب از nn شیء است که در آن «ترتیب قرارگیری» و «تکرار عناصر» اهمیت بنیادین دارد.

  • نماد ۱۰.۱ عدد طبیعی n
    پیش‌نمایش

    نماد ۱۰.۱: تثبیت طول nn (Fixing the Positive Integer n)

    پیام کلیدی در یک جمله

    برای جلوگیری از تکرار ملال‌آور عبارت «فرض کنید nn یک عدد صحیح مثبت باشد» در تک‌تک تعاریف و قضایا، نماد nn در سراسر این فصل به عنوان یک عدد صحیح مثبت ثابت در نظر گرفته می‌شود.

  • مثال ۱۲.۱ فضای C4
    پیش‌نمایش

    مثال ۱۲.۱: نمونه فضای C4\mathbb{C}^4 (The Space C^4)

    پیام کلیدی در یک جمله

    فضای C4\mathbb{C}^4 مجموعه تمام ۴-تایی‌های مرتب از اعداد مختلط است؛ این فضا به ما یادآوری می‌کند که حتی زمانی که تجسم بصری انسان از کار می‌افتد، منطق جبری به شکلی بی‌نقص و استوار ادامه می‌یابد.

نمایش ۲ مورد دیگرنمایش کمتر
  • تعریف ۱۳.۱ جمع در Fn
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۳.۱: عمل جمع برداری در Fn\mathbb{F}^n (Addition in F^n)

    چکیده مفهومی

    عمل جمع در Fn\mathbb{F}^n به صورت «مؤلفه به مؤلفه» تعریف می‌شود؛ از دیدگاه هندسی در R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3، این عمل همان جابه‌جایی متوالی یا قانون متوازی‌الأضلاع است.

  • تعریف ۱۸.۱ ضرب اسکالر در Fn
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۸.۱: عمل ضرب اسکالر در Fn\mathbb{F}^n (Scalar Multiplication in F^n)

    چکیده مفهومی

    ضرب اسکالر در Fn\mathbb{F}^n، ضرب یک عدد (اسکالر) λ∈F\lambda \in \mathbb{F} در تک‌تک مختصات یک بردار است؛ از نظر هندسی، این عمل طول بردار را منبسط یا منقبض می‌کند و در صورت منفی بودن اسکالر، جهت بردار را ۱۸۰ درجه برمی‌گرداند.

ارجاعات به این یادداشت ۱۸

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

نمایش ۱۳ مورد دیگرنمایش کمتر

حالت ارائه