رفتن به متن
باغ ریاضی
تعریف ۱۸.۱ ضرب اسکالر در Fn
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تعریف ۱۸.۱ ضرب اسکالر در Fn

#تعریف#مفهوم#ضرب_اسکالر#تجسم_هندسی#فصل_۱#جبر_خطینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تعریف ۱۸.۱: عمل ضرب اسکالر در Fn\mathbb{F}^n (Scalar Multiplication in F^n)

چکیده مفهومی

ضرب اسکالر در Fn\mathbb{F}^n، ضرب یک عدد (اسکالر) λ∈F\lambda \in \mathbb{F} در تک‌تک مختصات یک بردار است؛ از نظر هندسی، این عمل طول بردار را منبسط یا منقبض می‌کند و در صورت منفی بودن اسکالر، جهت بردار را ۱۸۰ درجه برمی‌گرداند.

۱. چرا ضرب بردار در بردار تعریف نشد؟ (فلسفه عمیق آکسلر)

یک سوال اساسی که هر ذهن کنجکاوی در بدو ورود به جبر خطی می‌پرسد این است: «ما جمع دو بردار را مؤلفه به مؤلفه تعریف کردیم؛ چرا ضرب دو بردار را به صورت مؤلفه به مؤلفه یعنی (x1y1,…,xnyn)(x_1 y_1, \dots, x_n y_n) تعریف نمی‌کنیم؟»

شلدون آکسلر پاسخی ژرف به این پرسش می‌دهد:

«می‌توانستیم ضربی در Fn\mathbb{F}^n با ضرب کردن مختصات‌های متناظر تعریف کنیم. اما تجربه ریاضی نشان می‌دهد که این تعریف برای اهداف جبر خطی اصلاً سودمند نیست و قضایای بنیادین هندسی و تبدیل‌های خطی را تولید نمی‌کند. نوع دیگری از ضرب به نام ضرب اسکالر (نرده‌ای) محور اصلی موضوع ما خواهد بود.»

در ضرب اسکالر، ما یک عدد (اسکالر) را در یک بردار ضرب می‌کنیم و خروجی مجدداً یک بردار است. (توجه: ضرب داخلی یا نقطه‌ای که دو بردار را ضرب کرده و یک عدد می‌دهد، بحث متفاوتی است که در فصل ۶ خواهد آمد).

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

تعریف ۱۸.۱ کتاب آکسلر: ضرب اسکالر در Fn\mathbb{F}^n

حاصل‌ضرب یک عدد λ\lambda و یک بردار در Fn\mathbb{F}^n با ضرب کردن هر مختصات بردار در λ\lambda محاسبه می‌شود:

λ(x1,…,xn)=(λx1,…,λxn)\lambda(x_1, \dots, x_n) = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)

در اینجا λ∈F\lambda \in \mathbb{F} و (x1,…,xn)∈Fn(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n.

۳. تعبیر هندسی و شبیه‌سازی جئوجبرا (GeoGebra)

ضرب اسکالر λx\lambda x در صفحه R2\mathbb{R}^2 معنای تصویری بسیار روشنی دارد:

  1. اگر λ>0\lambda > 0 باشد: بردار حاصل در همان جهت xx اشاره می‌کند و طول آن λ\lambda برابر می‌شود:
    • اگر λ>1\lambda > 1: بردار دچار انبساط (کشش) می‌شود.
    • اگر 0<λ<10 < \lambda < 1: بردار دچار انقباض (فشردگی) می‌شود.
  2. اگر λ<0\lambda < 0 باشد: بردار حاصل در جهت عکس xx اشاره می‌کند و طول آن ∣λ∣|\lambda| برابر می‌شود.
  3. اگر λ=0\lambda = 0 باشد: بردار حاصل به بردار صفر تبدیل می‌شود (0x=00x = 0).
نمایش هندسی ضرب اسکالر λv در صفحه R^2 برای ضرایب مثبت و منفی
  • بردار اصلی v با مختصات (2, 1) به رنگ آبی رسم شده است.
  • بردار 2v حاصل ضرب در اسکالر مثبت λ = 2 است که در همان راستا کشیده شده است.
  • بردار -1.5v حاصل ضرب در اسکالر منفی λ = -1.5 است که جهتش ۱۸۰ درجه معکوس شده است.
کد اصلی رسم
appName: classic
width: 700
height: 380
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "O = (0, 0)"
  - "Pt1 = (2, 1)"
  - "v = Vector(O, Pt1)"
  - "v_scaled_pos = 2 * v"
  - "v_scaled_neg = -1.5 * v"
caption: "نمایش هندسی ضرب اسکالر λv در صفحه R^2 برای ضرایب مثبت و منفی"
explain:
  - "بردار اصلی v با مختصات (2, 1) به رنگ آبی رسم شده است."
  - "بردار 2v حاصل ضرب در اسکالر مثبت λ = 2 است که در همان راستا کشیده شده است."
  - "بردار -1.5v حاصل ضرب در اسکالر منفی λ = -1.5 است که جهتش ۱۸۰ درجه معکوس شده است."

۴. مثال‌های عددی گام‌به‌گام

ضرب اسکالر حقیقی در R3\mathbb{R}^3

فرض کنید λ=−3\lambda = -3 و x=(2,−4,5)∈R3x = (2, -4, 5) \in \mathbb{R}^3:

−3(2,−4,5)=((−3)(2),  (−3)(−4),  (−3)(5))=(−6,12,−15)-3(2, -4, 5) = \big( (-3)(2), \; (-3)(-4), \; (-3)(5) \big) = (-6, 12, -15)
ضرب اسکالر مختلط در C2\mathbb{C}^2

فرض کنید λ=2i\lambda = 2i و w=(1−i,  3)∈C2w = (1 - i, \; 3) \in \mathbb{C}^2:

2i(1−i,  3)=(2i(1−i),  2i(3))=(2i−2i2,  6i)=(2+2i,  6i)2i(1 - i, \; 3) = \big( 2i(1 - i), \; 2i(3) \big) = \big( 2i - 2i^2, \; 6i \big) = (2 + 2i, \; 6i)

۵. مقایسه مهم: ضرب اسکالر در برابر ضرب نقطه‌ای (Dot Product)

ویژگی ضرب اسکالر (تعریف ۱۸.۱) ضرب نقطه‌ای (فصل ۶)
ورودی‌ها یک اسکالر و یک بردار: (λ,v)(\lambda, v) دو بردار: (u,v)(u, v)
خروجی یک بردار در Fn\mathbb{F}^n یک اسکالر در F\mathbb{F}
نقش در فضا ایجاد ساختار خطی و امتداد خطوط تعریف طول، زاویه، و تعامد

۶. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۱۱.۱ فضای Fn و مختصات
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۱.۱: فضای Fn\mathbb{F}^n و مختصات (The Space F^n and Coordinates)

    چکیده مفهومی

    فضای Fn\mathbb{F}^n مجموعه تمام لیست‌های به طول nn است که عناصر آن‌ها از میدان اسکالرها F\mathbb{F} (یعنی R\mathbb{R} یا C\mathbb{C}) انتخاب شده‌اند؛ و به هر مؤلفه در این لیست، یک «مختصات» می‌گوییم.

  • تعریف ۱۳.۱ جمع در Fn
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۳.۱: عمل جمع برداری در Fn\mathbb{F}^n (Addition in F^n)

    چکیده مفهومی

    عمل جمع در Fn\mathbb{F}^n به صورت «مؤلفه به مؤلفه» تعریف می‌شود؛ از دیدگاه هندسی در R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3، این عمل همان جابه‌جایی متوالی یا قانون متوازی‌الأضلاع است.

  • تعریف ۱۷.۱ وارون جمعی در Fn
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۷.۱: وارون جمعی −x-x در Fn\mathbb{F}^n (Additive Inverse in F^n)

    چکیده مفهومی

    وارون جمعی بردار x=(x1,…,xn)x = (x_1, \dots, x_n) برداری است به نام −x-x که تمام مختصات‌های آن قرینه شده‌اند؛ از نظر هندسی، این بردار همان طول بردار اصلی را دارد اما دقیقاً در جهت عکس (با زاویه ۱۸۰ درجه) اشاره می‌کند.

ارجاعات به این یادداشت ۱۱

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

نمایش ۶ مورد دیگرنمایش کمتر

حالت ارائه