صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

بردار $x \in \mathbb{R}^4$ را پیدا کنید به‌طوری‌که:

$$(4, -3, 1, 7) + 2x = (5, 9, -6, 8)$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (ایزوله‌سازی عبارت برداری مجهول): معادله داده‌شده عبارت است از:

$$(4, -3, 1, 7) + 2x = (5, 9, -6, 8)$$

برای به دست آوردن $2x$، وارون جمعی بردار $(4, -3, 1, 7)$ یعنی بردار $-(4, -3, 1, 7) = (-4, 3, -1, -7)$ را به هر دو طرف معادله اضافه می‌کنیم:

$$2x = (5, 9, -6, 8) - (4, -3, 1, 7)$$

گام دوم (محاسبه تفریق بردارها مؤلفه به مؤلفه): طبق تعریف جمع و وارون جمعی در $\mathbb{R}^4$:

$$2x = \big( 5 - 4, \; 9 - (-3), \; -6 - 1, \; 8 - 7 \big)$$

تک‌تک مؤلفه‌ها را با دقت حساب می‌کنیم:

• مؤلفه اول: $5 - 4 = 1$
• مؤلفه دوم: $9 - (-3) = 9 + 3 = 12$
• مؤلفه سوم: $-6 - 1 = -7$
• مؤلفه چهارم: $8 - 7 = 1$

بنابراین داریم:

$$2x = (1, 12, -7, 1)$$

گام سوم (اعمال معکوس اسکالر): برای یافتن خود بردار $x$، طرفین را در اسکالر $\frac{1}{2}$ ضرب می‌کنیم:

$$x = \frac{1}{2} (1, 12, -7, 1)$$

طبق تعریف ضرب اسکالر در $\mathbb{R}^4$ (تعریف ۱۸.۱)، اسکالر در تک‌تک مؤلفه‌ها ضرب می‌شود:

$$x = \left( \frac{1}{2} \times 1, \; \frac{1}{2} \times 12, \; \frac{1}{2} \times (-7), \; \frac{1}{2} \times 1 \right)$$

ساده‌سازی مؤلفه‌ها:

$$x = \left( \frac{1}{2}, \; 6, \; -\frac{7}{2}, \; \frac{1}{2} \right)$$

گام چهارم (آزمون درستی جواب - Verification): بردار به دست آمده را در سمت چپ معادله اولیه قرار می‌دهیم:

$$(4, -3, 1, 7) + 2\left( \frac{1}{2}, 6, -\frac{7}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

$$= (4, -3, 1, 7) + (1, 12, -7, 1)$$

$$= (4 + 1, \; -3 + 12, \; 1 - 7, \; 7 + 1) = (5, 9, -6, 8)$$

حاصل دقیقاً برابر با سمت راست معادله است.

نتیجه نهایی: بردار یکتای مطلوب برابر است با:

$$x = \left( \frac{1}{2}, 6, -\frac{7}{2}, \frac{1}{2} \right) \blacksquare$$

نکات باریک‌تر از مو

• اشتباه در تفریق اعداد منفی: در مؤلفه دوم، $9 - (-3)$ برابر $+12$ می‌شود نه $+6$. اشتباه در علامت تفریق از خطاهای متداول دبیرستانی است.
• ضرب نکردن اسکالر در تمام مؤلفه‌ها: هنگام تقسیم بر ۲، گاهی دانشجو فقط مؤلفه اول را تقسیم می‌کند و سایرین را دست‌نخورده باقی می‌گذارد. تعریف ضرب اسکالر روی کل لیست اعمال می‌شود.