صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

دو ریشه دوم متمایز برای $i$ پیدا کنید.

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (فرمول‌بندی جبری): فرض کنید $z = x + yi$ که در آن $x, y \in \mathbb{R}$ باشند. می‌خواهیم داشته باشیم:

$$z^2 = i$$

سمت چپ را بسط می‌دهیم:

$$(x + yi)^2 = x^2 + 2xy i + (yi)^2 = x^2 + 2xy i + y^2 i^2$$

چون $i^2 = -1$ است:

$$(x + yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xy i$$

از طرفی عدد سمت راست برابر است با $0 + 1i$. بنابراین:

$$(x^2 - y^2) + 2xy i = 0 + 1i$$

گام دوم (تشکیل دستگاه معادلات حقیقی): با برابر قرار دادن اجزای حقیقی با حقیقی و موهومی با موهومی:

$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 & \text{--- (معادله ۱)} \\ 2xy = 1 & \text{--- (معادله ۲)} \end{cases}$$

گام سوم (تحلیل و حل معادله ۱): از معادله (۱) داریم:

$$x^2 = y^2 \implies y = x \quad \text{یا} \quad y = -x$$

گام چهارم (بررسی شرط علامت با معادله ۲): معادله (۲) می‌گوید $2xy = 1 > 0$. این یعنی حاصل‌ضرب $x$ و $y$ مثبت است؛ بنابراین $x$ و $y$ باید هم‌علامت باشند (هر دو مثبت یا هر دو منفی). حالت $y = -x$ غیرممکن است، زیرا اگر $y = -x$ باشد:

$$2x(-x) = -2x^2 = 1 \implies x^2 = -\frac{1}{2}$$

اما $x$ عددی حقیقی است و مربع یک عدد حقیقی هرگز نمی‌تواند منفی باشد ($x^2 \geq 0$). پس این حالت رد می‌شود.

بنابراین تنها حالت ممکن $y = x$ است.

گام پنجم (یافتن مقادیر $x$ و $y$): با قرار دادن $y = x$ در معادله (۲):

$$2x(x) = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}$$

در نتیجه دو جواب حقیقی برای $x$ به دست می‌آید:

$$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

و چون $y = x$ است، مقادیر متناظر $y$ نیز دقیقاً برابر با $x$ خواهند بود:

• اگر $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$، آنگاه $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• اگر $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$، آنگاه $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

گام ششم (معرفی دو ریشه متمایز و ساده‌سازی): دو ریشه دوم به دست آمده عبارتند از:

$$z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$$

$$z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i = -\frac{1 + i}{\sqrt{2}}$$

واضح است که $z_1 \neq z_2$ (چرا که یکی قرینه دیگری است: $z_2 = -z_1$).

گام هفتم (بررسی صحت جواب‌ها): بیایید $z_1$ را به توان ۲ برسانیم:

$$z_1^2 = \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{(1 + i)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$$

و برای $z_2$:

$$z_2^2 = (-z_1)^2 = z_1^2 = i$$

جواب‌ها کاملاً دقیق و درست هستند $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• فراموشی علامت جبری: نوشتن تنها یک ریشه مثبت $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ و جا انداختن ریشه قرینه $-\frac{1+i}{\sqrt{2}}$. در میدان اعداد مختلط، هر عدد غیرصفر دارای دو ریشه دوم قرینه یکدیگر است.
• حل نکردن دستگاه بر اساس حقیقی بودن $x$ و $y$: فراموش نکنید که در تعریف عدد مختلط $z = x+yi$، ضرایب $x, y$ حتماً متعلق به $\mathbb{R}$ هستند و نباید برای آن‌ها مقادیر موهومی در نظر گرفت.