رفتن به متن
باغ ریاضی
مثال ۲.۱ حساب اعداد مختلط
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

مثال ۲.۱ حساب اعداد مختلط

#مثال#نمونه#فصل_۱#محاسبات#اعداد_مختلطنسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

مثال ۲.۱: حساب اعداد مختلط (Complex Arithmetic)

چکیده محاسباتی

ضرب اعداد مختلط با اعمال قانون پخش جبری (توزیع‌پذیری) و جایگزینی مستقیم رابطه i2=−1i^2 = -1 انجام می‌شود و هرگز نیازی به به خاطرسپردن فرمول‌های پیچیده ندارد.

۱. صورت مثال کتاب آکسلر

متن مثال ۲.۱ آکسلر

حاصل‌ضرب (2+3i)(4+5i)(2 + 3i)(4 + 5i) را می‌توان با اعمال ویژگی‌های توزیع‌پذیری و جابه‌جایی ارزیابی کرد:

(2+3i)(4+5i)=2⋅(4+5i)+(3i)(4+5i)(2 + 3i)(4 + 5i) = 2 \cdot (4 + 5i) + (3i)(4 + 5i)

=2⋅4+2⋅5i+3i⋅4+(3i)(5i)= 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5i + 3i \cdot 4 + (3i)(5i)

=8+10i+12i−15=−7+22i= 8 + 10i + 12i - 15 = -7 + 22i

۲. کالبدشکافی گام‌به‌گام محاسبات

بیایید این محاسبه را با تمام جزئیات مرحله‌بندی کنیم تا روش تفکر جبری آن تثبیت شود:

  1. گام اول (پخش دوجمله‌ای): عدد اول را در تک‌تک جملات پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

    (2+3i)(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i(2 + 3i)(4 + 5i) = 2 \times 4 + 2 \times 5i + 3i \times 4 + 3i \times 5i

  2. گام دوم (ضرب ضرایب حقیقی):

    =8+10i+12i+15i2= 8 + 10i + 12i + 15i^2

  3. گام سوم (اعمال اصل موضوعی i2=−1i^2 = -1): جمله 15i215i^2 به 15(−1)=−1515(-1) = -15 تبدیل می‌شود:

    =8+10i+12i−15= 8 + 10i + 12i - 15

  4. گام چهارم (دسته‌بندی بخش‌های حقیقی و موهومی): بخش‌های حقیقی را با هم و بخش‌های موهومی را با هم جمع می‌زنیم:

    =(8−15)+(10+12)i=−7+22i= (8 - 15) + (10 + 12)i = -7 + 22i

۳. مثال‌های تکمیلی برای تسلط

نمونه ۱: محاسبه جمع و تفریق

(3−2i)+(−5+7i)=(3−5)+(−2+7)i=−2+5i(3 - 2i) + (-5 + 7i) = (3 - 5) + (-2 + 7)i = -2 + 5i

(3−2i)−(−5+7i)=(3−(−5))+(−2−7)i=8−9i(3 - 2i) - (-5 + 7i) = (3 - (-5)) + (-2 - 7)i = 8 - 9i
نمونه ۲: محاسبه توان‌های متوالی ii

توان‌های ii الگوی چرخشی ۴ تایی دارند:

  • i1=ii^1 = i
  • i2=−1i^2 = -1
  • i3=i2⋅i=−ii^3 = i^2 \cdot i = -i
  • i4=(i2)2=(−1)2=1i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1
  • i5=i4⋅i=ii^5 = i^4 \cdot i = i به طور کلی برای هر عدد طبیعی kk: i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=−1,i4k+3=−ii^{4k} = 1, \quad i^{4k+1} = i, \quad i^{4k+2} = -1, \quad i^{4k+3} = -i
نمونه ۳: مربع دوجمله‌ای

(1+i)2=12+2(1)(i)+i2=1+2i−1=2i(1 + i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

۴. تعبیر هندسی ضرب مختلط: دوران و مقیاس‌بندی (GeoGebra)

ضرب در یک عدد مختلط در صفحه آرگاند دارای تعبیر هندسی شگفت‌انگیزی است: اندازه بردارها در هم ضرب و زاویه‌هایشان با هم جمع می‌شوند. در حالت خاص، ضرب در یکه موهومی ii معادل یک دوران ۹۰ درجه پادساعتگرد بدون تغییر اندازه است:

شهود هندسی ضرب مختلط: ضرب بردار z = 2 + i در یکه موهومی i معادل دوران ۹۰ درجه پادساعتگرد است
  • بردار z = 2 + i دارای طول رادیکال ۵ است.
  • ضرب در i بردار را به iz = -1 + 2i انتقال می‌دهد که همان طول را دارد اما ۹۰ درجه چرخیده است.
  • ضرب مجدد در i حاصل i^2 z = -2 - i را می‌سازد که زاویه ۱۸۰ درجه با بردار اصلی دارد (چون i^2 = -1).
کد اصلی رسم
appName: 3d
width: 700
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Origin = Point({0, 0})"
  - "O = (0, 0)"
  - "Pt1 = (2, 1)"
  - "vz = Vector(O, Pt1)"
  - "Pt2 = (-1, 2)"
  - "viz = Vector(O, Pt2)"
  - "Pt3 = (-2, -1)"
  - "vi2z = Vector(O, Pt3)"
  - "RotAngle = Angle(Z, iz)"
caption: "شهود هندسی ضرب مختلط: ضرب بردار z = 2 + i در یکه موهومی i معادل دوران ۹۰ درجه پادساعتگرد است"
explain:
  - "بردار z = 2 + i دارای طول رادیکال ۵ است."
  - "ضرب در i بردار را به iz = -1 + 2i انتقال می‌دهد که همان طول را دارد اما ۹۰ درجه چرخیده است."
  - "ضرب مجدد در i حاصل i^2 z = -2 - i را می‌سازد که زاویه ۱۸۰ درجه با بردار اصلی دارد (چون i^2 = -1)."

۵. دام‌های رایج محاسباتی

هشدارهای مهم در محاسبات

  • علامت منفی i2i^2: رایج‌ترین اشتباه دانشجویان فراموش کردن علامت منفی هنگام تبدیل i2i^2 به −1-1 است. به عنوان مثال، نوشتن (3i)(5i)=+15(3i)(5i) = +15 به جای −15-15 پاسخ نهایی را کاملاً دگرگون می‌کند.
  • ضرب رادیکال‌ها: قاعده ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} تنها زمانی برقرار است که حداقل یکی از aa یا bb نامنفی باشد! −1−1=i⋅i=−1≠(−1)(−1)=1=1\sqrt{-1}\sqrt{-1} = i \cdot i = -1 \neq \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1

۶. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۴

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۱.۱ اعداد مختلط C
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱.۱: اعداد مختلط C\mathbb{C} (Complex Numbers)

    چکیده مفهومی

    عدد مختلط یک زوج مرتب از اعداد حقیقی به شکل a+bia + bi است که در آن i2=−1i^2 = -1. این دستگاه عددی به ما امکان می‌دهد معادلات جبری را حل کنیم که در دامنه اعداد حقیقی هیچ پاسخی ندارند.

  • ویژگی‌های ۳.۱ ویژگی‌های حساب مختلط
    پیش‌نمایش

    ویژگی‌های ۳.۱: ویژگی‌های حساب مختلط (Properties of Complex Arithmetic)

    پیام کلیدی در یک جمله

    مجموعه اعداد مختلط C\mathbb{C} تحت دو عمل جمع و ضرب، تمامی خواص جبری بنیادین حاکم بر اعداد حقیقی را داراست و تشکیل یک ساختار جبری کامل به نام میدان (Field) می‌دهد.

  • مثال ۴.۱ جابه‌جایی ضرب مختلط
    پیش‌نمایش

    مثال ۴.۱: اثبات جابه‌جایی ضرب مختلط (Commutativity of Complex Multiplication)

    پیام کلیدی در یک جمله

    ضرب اعداد مختلط خاصیت جابه‌جایی دارد (یعنی αβ=βα\alpha\beta = \beta\alpha)؛ این نتیجه مستقیماً از خواص جابه‌جایی جمع و ضرب در دستگاه اعداد حقیقی ناشی می‌شود.

  • MOC فصل ۱ - فضاهای برداری
    پیش‌نمایش

    📘 نقشه راه فصل اول: فضاهای برداری (Vector Spaces)

    ستون فقرات جبر خطی

    فصل اول آکسلر مفهوم «بردار» را از پیکان‌های فیزیکی دبیرستان آزاد کرده و به یک ساختار جبری فراگیر تبدیل می‌کند. این فصل به سه بخش اصلی تقسیم می‌شود: ۱. بخش ۱.۱ (Rn\mathbb{R}^n و Cn\mathbb{C}^n): ساختن زمینه اسکالرها و فضاهای مختصاتی. ۲. بخش ۲.۱ (فضای برداری): تعریف اصل موضوعی و خواص بنیادین. ۳. بخش ۳.۱ (زیرفضاها و جمع مستقیم): نحوه تجزیه فضاها به بخش‌های ساده‌تر.

ارجاعات به این یادداشت ۵

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه