رفتن به متن
باغ ریاضی
مثال ۴.۱ جابه‌جایی ضرب مختلط
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

مثال ۴.۱ جابه‌جایی ضرب مختلط

#مثال#اثبات#فصل_۱#جبر_خطی#اعداد_مختلطنسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

مثال ۴.۱: اثبات جابه‌جایی ضرب مختلط (Commutativity of Complex Multiplication)

پیام کلیدی در یک جمله

ضرب اعداد مختلط خاصیت جابه‌جایی دارد (یعنی αβ=βα\alpha\beta = \beta\alpha)؛ این نتیجه مستقیماً از خواص جابه‌جایی جمع و ضرب در دستگاه اعداد حقیقی ناشی می‌شود.

۱. تصویر کلان و استراتژی اثبات

اعداد مختلط به عنوان زوج‌های مرتبی از اعداد حقیقی ساخته شده‌اند. بنابراین برای اثبات هر خاصیت جبری در C\mathbb{C}، یک استراتژی استاندارد وجود دارد:

  1. نمایش اعداد مختلط به شکل صریح مولفه‌های حقیقی: α=a+bi\alpha = a + bi و β=c+di\beta = c + di.
  2. بسط عبارت طبق تعریف جمع و ضرب مختلط.
  3. استفاده از خواص بنیادین اعداد حقیقی (جابه‌جایی و توزیع‌پذیری در R\mathbb{R}).
  4. بازسازی مجدد عبارت به شکل ضرب در جهت معکوس.

۲. صورت دقیق ریاضی و اثبات آکسلر

متن مثال ۴.۱ کتاب آکسلر

برای نشان دادن اینکه αβ=βα\alpha\beta = \beta\alpha برای هر α,β∈C\alpha, \beta \in \mathbb{C} برقرار است، فرض کنید:

α=a+biوβ=c+di\alpha = a + bi \quad \text{و} \quad \beta = c + di

که در آن a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}.

آنگاه طبق تعریف ضرب اعداد مختلط داریم:

αβ=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\alpha\beta = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

βα=(c+di)(a+bi)=(ca−db)+(cb+da)i\beta\alpha = (c + di)(a + bi) = (ca - db) + (cb + da)i

از آنجا که در اعداد حقیقی عمل‌های جمع و ضرب دارای خاصیت جابه‌جایی هستند، می‌دانیم:

ca=acوdb=bd  ⟹  ca−db=ac−bdca = ac \quad \text{و} \quad db = bd \implies ca - db = ac - bd

و همچنین:

cb+da=bc+ad=ad+bccb + da = bc + ad = ad + bc

در نتیجه بخش‌های حقیقی با هم و بخش‌های موهومی با هم برابرند، پس:

αβ=βα■\alpha\beta = \beta\alpha \qquad \blacksquare

۳. تمرین تکمیلی: اثبات جابه‌جایی جمع مختلط (تمرین ۱ بخش ۱.۱)

اثبات جابه‌جایی عمل جمع در C\mathbb{C}

فرض کنید α=a+bi\alpha = a + bi و β=c+di\beta = c + di دو عدد مختلط دلخواه باشند (a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}).

طبق تعریف ۱.۱:

α+β=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\alpha + \beta = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

به دلیل خاصیت جابه‌جایی جمع در اعداد حقیقی (a+c=c+aa + c = c + a و b+d=d+bb + d = d + b):

=(c+a)+(d+b)i= (c + a) + (d + b)i

با اعمال مجدد تعریف جمع اعداد مختلط:

=(c+di)+(a+bi)=β+α■= (c + di) + (a + bi) = \beta + \alpha \qquad \blacksquare

۴. نکته آموزشی و اهمیت متدلوژیک

این اثبات نمونه‌ای درخشان از تقلیل یک مفهوم نو به مفاهیم اثبات‌شده قبلی است. ما نیازی به اختراع منطق جدید نداریم؛ استحکام ساختار جبری C\mathbb{C} از پایه‌های استوار دستگاه اعداد حقیقی R\mathbb{R} وام گرفته می‌شود.

۵. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۱.۱ اعداد مختلط C
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱.۱: اعداد مختلط C\mathbb{C} (Complex Numbers)

    چکیده مفهومی

    عدد مختلط یک زوج مرتب از اعداد حقیقی به شکل a+bia + bi است که در آن i2=−1i^2 = -1. این دستگاه عددی به ما امکان می‌دهد معادلات جبری را حل کنیم که در دامنه اعداد حقیقی هیچ پاسخی ندارند.

  • ویژگی‌های ۳.۱ ویژگی‌های حساب مختلط
    پیش‌نمایش

    ویژگی‌های ۳.۱: ویژگی‌های حساب مختلط (Properties of Complex Arithmetic)

    پیام کلیدی در یک جمله

    مجموعه اعداد مختلط C\mathbb{C} تحت دو عمل جمع و ضرب، تمامی خواص جبری بنیادین حاکم بر اعداد حقیقی را داراست و تشکیل یک ساختار جبری کامل به نام میدان (Field) می‌دهد.

  • تعریف ۵.۱ تفریق و تقسیم در اعداد مختلط
    پیش‌نمایش

    تعریف ۵.۱: تفریق و تقسیم در اعداد مختلط (Subtraction and Division)

    چکیده مفهومی

    در ساختارهای مجرد جبری، «تفریق» چیزی جز جمع با وارون جمعی نیست (β−α=β+(−α)\beta - \alpha = \beta + (-\alpha))، و «تقسیم» چیزی جز ضرب در وارون ضربی نیست (β/α=β⋅(1/α)\beta / \alpha = \beta \cdot (1/\alpha)).

ارجاعات به این یادداشت ۵

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه