صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha \in \mathbb{C}$ با $\alpha \neq 0$، یک $\beta \in \mathbb{C}$ منحصر‌به‌فرد وجود دارد به‌طوری‌که:

$$\alpha\beta = 1$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

فرض کنید $\alpha = a + bi$ با $a, b \in \mathbb{R}$ باشد. چون $\alpha \neq 0$ است، $a$ و $b$ هم‌زمان صفر نیستند، بنابراین:

$$a^2 + b^2 > 0$$

بخش اول: اثبات وجود (Existence)

گام اول (فرمول‌بندی معادله): به دنبال $\beta = c + di$ با $c, d \in \mathbb{R}$ هستیم به نحوی که:

$$\alpha\beta = (a + bi)(c + di) = 1 + 0i$$

طبق تعریف ضرب مختلط:

$$(ac - bd) + (ad + bc)i = 1 + 0i$$

گام دوم (تشکیل و حل دستگاه معادلات): با برابر قرار دادن بخش‌های حقیقی و موهومی، به دستگاه دو معادله و دو مجهول زیر می‌رسیم:

$$\begin{cases} ac - bd = 1 & \text{--- (۱)} \\ bc + ad = 0 & \text{--- (۲)} \end{cases}$$

برای حذف $d$، معادله (۱) را در $a$ و معادله (۲) را در $b$ ضرب کرده و با هم جمع می‌کنیم:

$$a(ac - bd) + b(bc + ad) = a(1) + b(0)$$

$$a^2 c - abd + b^2 c + abd = a \implies (a^2 + b^2)c = a$$

چون $a^2 + b^2 \neq 0$ است، با تقسیم طرفین بر $a^2 + b^2$ به دست می‌آوریم:

$$c = \frac{a}{a^2 + b^2}$$

به طور مشابه برای حذف $c$، معادله (۱) را در $-b$ و معادله (۲) را در $a$ ضرب می‌کنیم:

$$-b(ac - bd) + a(bc + ad) = -b(1) + a(0)$$

$$-abc + b^2 d + abc + a^2 d = -b \implies (a^2 + b^2)d = -b$$

تقسیم بر $a^2 + b^2$:

$$d = \frac{-b}{a^2 + b^2}$$

گام سوم (بررسی صحت): عدد مختلط $\beta$ را چنین تعریف می‌کنیم:

$$\beta = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$$

ضرب $\alpha\beta$ را امتحان می‌کنیم:

$$\alpha\beta = (a + bi)\left( \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \right) = \frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - (bi)^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$$

بدین ترتیب وجود چنین عنصری ثابت شد.

---

بخش دوم: اثبات یکتایی (Uniqueness)

فرض کنیم دو عدد مختلط $\beta_1, \beta_2 \in \mathbb{C}$ وجود داشته باشند که هر دو وارون ضربی $\alpha$ باشند:

$$\alpha\beta_1 = 1 \quad \text{و} \quad \alpha\beta_2 = 1$$

طبق خاصیت جابه‌جایی ضرب (مثال ۴.۱) داریم $\beta_1\alpha = \alpha\beta_1 = 1$. اکنون عبارت $\beta_1(\alpha\beta_2)$ را از دو مسیر محاسبه می‌کنیم:

1. از یک طرف چون $\alpha\beta_2 = 1$ است: $$\beta_1(\alpha\beta_2) = \beta_1(1) = \beta_1$$
2. از طرف دیگر به کمک خاصیت شرکت‌پذیری ضرب مختلط (تمرین ۳): $$\beta_1(\alpha\beta_2) = (\beta_1\alpha)\beta_2 = (1)\beta_2 = \beta_2$$

از برابری این دو نتیجه می‌گیریم:

$$\beta_1 = \beta_2$$

نتیجه نهایی: وارون ضربی برای هر عدد مختلط غیرصفر $\alpha$ وجود دارد و منحصر‌به‌فرد است $\blacksquare$ (این وارون یکتا را با $\frac{1}{\alpha}$ یا $\alpha^{-1}$ نمایش می‌دهند).

نکات باریک‌تر از مو

• تقسیم بر صفر در صورت فراموشی شرط $\alpha \neq 0$: عبارت $a^2 + b^2$ مخرج کسرهاست؛ اگر در برهان قید نشود که چون $\alpha \neq 0$ پس $a^2 + b^2 > 0$ است، اجازه تقسیم نخواهید داشت.
• نمایش مبهم بخش موهومی: در تعیین وارون، علامت منفی بخش موهومی ناشی از مزدوج مختلط است. اشتباه در علامت منجر به عددی می‌شود که ضربش در $\alpha$ برابر ۱ نیست.