صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha, \beta, \lambda \in \mathbb{C}$ داریم:

$$(\alpha\beta)\lambda = \alpha(\beta\lambda)$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (تعریف متغیرها): فرض کنید اعداد مختلط به شکل زیر باشند با $a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$:

$$\alpha = a + bi, \quad \beta = c + di, \quad \lambda = e + fi$$

گام دوم (محاسبه ضرب $\alpha\beta$): طبق تعریف ضرب اعداد مختلط:

$$\alpha\beta = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

برای راحتی، این نتیجه را با دو مؤلفه حقیقی $u$ و $v$ نام‌گذاری می‌کنیم:

$$u = ac - bd, \quad v = ad + bc \implies \alpha\beta = u + vi$$

گام سوم (محاسبه سمت چپ: $(\alpha\beta)\lambda$): اکنون $(\alpha\beta)\lambda$ را ضرب می‌کنیم:

$$(\alpha\beta)\lambda = (u + vi)(e + fi) = (ue - vf) + (uf + ve)i$$

حال مقادیر $u$ و $v$ را در این رابطه جایگذاری و با توزیع‌پذیری حقیقی باز می‌کنیم:

• بخش حقیقی سمت چپ:

  $$ue - vf = (ac - bd)e - (ad + bc)f = ace - bde - adf - bcf$$

• بخش موهومی سمت چپ:

  $$uf + ve = (ac - bd)f + (ad + bc)e = acf - bdf + ade + bce$$

  بنابراین سمت چپ برابر است با:

  $$(\alpha\beta)\lambda = (ace - bde - adf - bcf) + (acf - bdf + ade + bce)i \quad \text{--- (رابطه ۱)}$$

گام چهارم (محاسبه ضرب $\beta\lambda$): حال به سراغ سمت راست تساوی می‌رویم. ابتدا حاصل $\beta\lambda$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\beta\lambda = (c + di)(e + fi) = (ce - df) + (cf + de)i$$

نام‌گذاری مؤلفه‌ها:

$$w = ce - df, \quad z = cf + de \implies \beta\lambda = w + zi$$

گام پنجم (محاسبه سمت راست: $\alpha(\beta\lambda)$): حاصل ضرب $\alpha$ در $(\beta\lambda)$ برابر است با:

$$\alpha(\beta\lambda) = (a + bi)(w + zi) = (aw - bz) + (az + bw)i$$

با جایگذاری $w$ و $z$:

• بخش حقیقی سمت راست:

  $$aw - bz = a(ce - df) - b(cf + de) = ace - adf - bcf - bde$$

  با مرتب‌سازی جملات بر اساس خاصیت جابه‌جایی جمع در $\mathbb{R}$:

  $$= ace - bde - adf - bcf$$

  که دقیقاً منطبق بر بخش حقیقی رابطه ۱ است.

• بخش موهومی سمت راست:

  $$az + bw = a(cf + de) + b(ce - df) = acf + ade + bce - bdf$$

  با مرتب‌سازی جملات:

  $$= acf - bdf + ade + bce$$

  که دقیقاً منطبق بر بخش موهومی رابطه ۱ است.

بنابراین سمت راست نیز برابر است با:

$$\alpha(\beta\lambda) = (ace - bde - adf - bcf) + (acf - bdf + ade + bce)i \quad \text{--- (رابطه ۲)}$$

گام ششم (نتیجه‌گیری): چون بخش حقیقی و بخش موهومی رابطه ۱ و رابطه ۲ عینا با هم برابرند:

$$(\alpha\beta)\lambda = \alpha(\beta\lambda)$$

و شرکت‌پذیری ضرب به طور کامل اثبات شد $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• اشتباه در علامت‌های منفی ناشی از $i^2$: در بسط ضرب، ضرب دو جمله موهومی دارای ضریب $i^2 = -1$ می‌شود. فراموشی این منفی یا اعمال اشتباه آن یکی از رایج‌ترین خطاهای جبری است.
• جا انداختن جملات در ضرب طولانی: هر بخش دارای ۴ جمله (مجموعاً ۸ جمله در هر طرف) است. دسته‌بندی و نشانه‌گذاری تمیز از خطای محاسباتی جلوگیری می‌کند.