صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\lambda, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ داریم:

$$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (نمایش بر اساس اجزای حقیقی): فرض کنید اعداد مختلط داده شده به صورت زیر باشند:

$$\lambda = x + yi, \quad \alpha = a_1 + b_1 i, \quad \beta = a_2 + b_2 i$$

که در آن تمام ضرایب $x, y, a_1, b_1, a_2, b_2$ اعدادی حقیقی هستند.

گام دوم (محاسبه پرانتز جمع $\alpha + \beta$): طبق تعریف جمع در $\mathbb{C}$:

$$\alpha + \beta = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$$

گام سوم (محاسبه سمت چپ: ضرب $\lambda$ در مجموع): حاصل ضرب $\lambda(\alpha + \beta)$ برابر است با:

$$\lambda(\alpha + \beta) = (x + yi) \Big( (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \Big)$$

طبق تعریف ضرب مختلط $(A + Bi)(C + Di) = (AC - BD) + (AD + BC)i$:

• بخش حقیقی:

  $$x(a_1 + a_2) - y(b_1 + b_2)$$

  به کمک توزیع‌پذیری در اعداد حقیقی:

  $$= xa_1 + xa_2 - yb_1 - yb_2 = (xa_1 - yb_1) + (xa_2 - yb_2)$$

• بخش موهومی:

  $$x(b_1 + b_2) + y(a_1 + a_2)$$

  به کمک توزیع‌پذیری در اعداد حقیقی:

  $$= xb_1 + xb_2 + ya_1 + ya_2 = (xb_1 + ya_1) + (xb_2 + ya_2)$$

بنابراین کل عبارت سمت چپ به شکل زیر بازنویسی می‌شود:

$$\lambda(\alpha + \beta) = \Big( (xa_1 - yb_1) + (xa_2 - yb_2) \Big) + \Big( (xb_1 + ya_1) + (xb_2 + ya_2) \Big)i$$

گام چهارم (محاسبه جداگانه $\lambda\alpha$ و $\lambda\beta$): طبق تعریف ضرب مختلط:

$$\lambda\alpha = (x + yi)(a_1 + b_1 i) = (xa_1 - yb_1) + (xb_1 + ya_1)i$$

$$\lambda\beta = (x + yi)(a_2 + b_2 i) = (xa_2 - yb_2) + (xb_2 + ya_2)i$$

گام پنجم (جمع دو حاصل‌ضرب): حاصل جمع $\lambda\alpha + \lambda\beta$ برابر است با جمع مؤلفه‌های نظیر:

$$\lambda\alpha + \lambda\beta = \Big( (xa_1 - yb_1) + (xa_2 - yb_2) \Big) + \Big( (xb_1 + ya_1) + (xb_2 + ya_2) \Big)i$$

گام ششم (نتیجه‌گیری): عبارت به دست آمده در گام سوم و گام پنجم کاملاً هم‌ارزند. در نتیجه:

$$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$$

و حکم مسئله اثبات گردید $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• مواظب علامت منفی در بخش حقیقی باشید: هنگام پخش کردن $-y(b_1 + b_2)$، علامت منفی بر هر دو جمله تأثیر می‌گذارد و تبدیل به $-yb_1 - yb_2$ می‌شود.
• تفاوت با توزیع‌پذیری در فضاهای برداری: این تمرین توزیع‌پذیری در خود میدان اعداد مختلط (ضرب دو عدد مختلط) را بررسی می‌کند و نباید آن را با توزیع‌پذیری ضرب اسکالر روی بردارهای $\mathbb{F}^n$ (که در تمرین ۱۴ می‌آید) اشتباه گرفت.