رفتن به متن
باغ ریاضی
تعریف ۱۳.۱ جمع در Fn
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تعریف ۱۳.۱ جمع در Fn

#تعریف#مفهوم#جمع_برداری#تجسم_هندسی#فصل_۱#جبر_خطینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تعریف ۱۳.۱: عمل جمع برداری در Fn\mathbb{F}^n (Addition in F^n)

چکیده مفهومی

عمل جمع در Fn\mathbb{F}^n به صورت «مؤلفه به مؤلفه» تعریف می‌شود؛ از دیدگاه هندسی در R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3، این عمل همان جابه‌جایی متوالی یا قانون متوازی‌الأضلاع است.

۱. درک شهودی و پیش‌زمینه فیزیکی

در فیزیک پایه دبیرستان، جمع بردارها را به دو روش شهودی آموخته‌ایم:

  1. روش مثلثی (اتصال نوک به دم): اگر ابتدا به اندازه بردار uu جابه‌جا شویم و سپس از همان نقطه انتهایی به اندازه بردار vv حرکت کنیم، جابه‌جایی خالص کل از نقطه آغازین تا نقطه پایانی دقیقاً بردار برآیند u+vu + v است.
  2. قاعده متوازی‌الأضلاع: اگر دو بردار هم‌مبدأ باشند، قطر متوازی‌الأضلاعی که بر مبنای این دو ضلع ساخته می‌شود، حاصل‌جمع آن‌ها را نشان می‌دهد.

در جبر خطی، ما این شهود فیزیکی را به زبان جبری دقیق تبدیل می‌کنیم: کافی است هر مؤلفه را با مؤلفه هم‌نام خود در بردار دوم جمع کنیم.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

تعریف ۱۳.۱ کتاب آکسلر: جمع در Fn\mathbb{F}^n

جمع در Fn\mathbb{F}^n با جمع کردن مختصات‌های متناظر تعریف می‌شود:

(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)(x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)

که در آن (x1,…,xn)∈Fn(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n و (y1,…,yn)∈Fn(y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{F}^n.

۳. کالبدشکافی و ویژگی‌های عمل جمع

  • بسته بودن (Closure): چون F\mathbb{F} یک میدان است و تحت جمع بسته است (xk,yk∈F  ⟹  xk+yk∈Fx_k, y_k \in \mathbb{F} \implies x_k + y_k \in \mathbb{F})، بنابراین حاصل جمع یک لیست به طول nn با عناصر در F\mathbb{F} است؛ یعنی: u,v∈Fn  ⟹  u+v∈Fnu, v \in \mathbb{F}^n \implies u + v \in \mathbb{F}^n
  • عمل دوتایی داخلی: جمع تابعی است از Fn×Fn\mathbb{F}^n \times \mathbb{F}^n به درون Fn\mathbb{F}^n.
  • تعمیم به ابعاد دلخواه: اگرچه فرمول بالا برای هر بعد n≥1n \ge 1 کار می‌کند، اما فقط برای n=2n=2 و n=3n=3 تصویر فیزیکی مستقیم دارد؛ در ابعاد بالاتر (مانند n=100n=100) همان تعریف جبری حاکم است.

۴. تعبیر هندسی و شبیه‌سازی جئوجبرا (GeoGebra)

در فضای دو‌بعدی R2\mathbb{R}^2، بردارها را می‌توان به صورت پیکان‌هایی با مبدأ مشخص دید. با حرکت دادن موازی بردار دوم بدون تغییر زاویه و طول، هندسه جمع به سادگی آشکار می‌گردد:

نمایش جمع برداری u + v به قاعده متوازی‌الأضلاع و روش مثلثی در R^2
  • بردار u (آبی) از مبدأ تا نقطه (3, 1) کشیده شده است.
  • بردار v (قرمز) به انتهای u انتقال یافته و به نقطه نهایی (4, 4) می‌رسد.
  • بردار برآیند w = u + v بردار حاصل‌جمع از مبدأ تا نقطه (4, 4) است.
کد اصلی رسم
appName: classic
width: 700
height: 380
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "O = (0, 0)"
  - "Pt1 = (3, 1)"
  - "u = Vector(O, Pt1)"
  - "Pt2 = (1, 3)"
  - "v = Vector(O, Pt2)"
  - "w = u + v"
  - "Pt3 = (3, 1)"
  - "Pt4 = (4, 4)"
  - "v_trans = Vector(Pt3, Pt4)"
caption: "نمایش جمع برداری u + v به قاعده متوازی‌الأضلاع و روش مثلثی در R^2"
explain:
  - "بردار u (آبی) از مبدأ تا نقطه (3, 1) کشیده شده است."
  - "بردار v (قرمز) به انتهای u انتقال یافته و به نقطه نهایی (4, 4) می‌رسد."
  - "بردار برآیند w = u + v بردار حاصل‌جمع از مبدأ تا نقطه (4, 4) است."

۵. مثال عددی گام‌به‌گام

جمع دو بردار در C3\mathbb{C}^3

فرض کنید x=(1+2i,  3,  −4i)x = (1 + 2i, \; 3, \; -4i) و y=(2−i,  −3+i,  5)y = (2 - i, \; -3 + i, \; 5) دو بردار در C3\mathbb{C}^3 باشند. حاصل‌جمع x+yx + y برابر است با:

x+y=((1+2i)+(2−i),  3+(−3+i),  −4i+5)x + y = \big( (1+2i) + (2-i), \; 3 + (-3+i), \; -4i + 5 \big)

=(3+i,  i,  5−4i)∈C3= (3 + i, \; i, \; 5 - 4i) \in \mathbb{C}^3

۶. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۴

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۱۱.۱ فضای Fn و مختصات
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۱.۱: فضای Fn\mathbb{F}^n و مختصات (The Space F^n and Coordinates)

    چکیده مفهومی

    فضای Fn\mathbb{F}^n مجموعه تمام لیست‌های به طول nn است که عناصر آن‌ها از میدان اسکالرها F\mathbb{F} (یعنی R\mathbb{R} یا C\mathbb{C}) انتخاب شده‌اند؛ و به هر مؤلفه در این لیست، یک «مختصات» می‌گوییم.

  • قضیه ۱۴.۱ جابه‌جایی جمع در Fn
    پیش‌نمایش

    قضیه ۱۴.۱: اثبات جابه‌جایی جمع در Fn\mathbb{F}^n (Commutativity of Addition in F^n)

    پیام کلیدی در یک جمله

    عمل جمع بردارها در فضای Fn\mathbb{F}^n دارای خاصیت جابه‌جایی است (x+y=y+xx + y = y + x)، زیرا جمع مؤلفه‌های اسکالر در میدان پایه F\mathbb{F} جابه‌جایی‌پذیر است.

  • نماد ۱۵.۱ بردار صفر در Fn
    پیش‌نمایش

    نماد ۱۵.۱: تعریف بردار صفر 00 در Fn\mathbb{F}^n (The Zero Vector in F^n)

    چکیده مفهومی

    نماد 00 برای معرفی برداری در Fn\mathbb{F}^n به کار می‌رود که تمام nn مؤلفه آن برابر عدد صفر هستند؛ این بردار، عضو همانی (خنثای) عمل جمع در فضای برداری است.

  • تعریف ۱۷.۱ وارون جمعی در Fn
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۷.۱: وارون جمعی −x-x در Fn\mathbb{F}^n (Additive Inverse in F^n)

    چکیده مفهومی

    وارون جمعی بردار x=(x1,…,xn)x = (x_1, \dots, x_n) برداری است به نام −x-x که تمام مختصات‌های آن قرینه شده‌اند؛ از نظر هندسی، این بردار همان طول بردار اصلی را دارد اما دقیقاً در جهت عکس (با زاویه ۱۸۰ درجه) اشاره می‌کند.

ارجاعات به این یادداشت ۱۵

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

نمایش ۱۰ مورد دیگرنمایش کمتر

حالت ارائه