صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\lambda \in \mathbb{F}$ و همه $x, y \in \mathbb{F}^n$ داریم:

$$\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (نمایش بردارها): فرض کنید $\lambda \in \mathbb{F}$ یک اسکالر دلخواه و $x, y \in \mathbb{F}^n$ دو بردار دلخواه باشند:

$$x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$$

$$y = (y_1, y_2, \dots, y_n)$$

که در آن $x_j, y_j \in \mathbb{F}$ به ازای هر $j \in \{1, 2, \dots, n\}$.

گام دوم (محاسبه جمع برداری $x + y$): طبق تعریف جمع در $\mathbb{F}^n$ (تعریف ۱۳.۱):

$$x + y = (x_1 + y_1, \; x_2 + y_2, \; \dots, \; x_n + y_n)$$

گام سوم (اعمال ضرب اسکالر $\lambda$ در مجموع): طبق تعریف ضرب اسکالر در $\mathbb{F}^n$ (تعریف ۱۸.۱):

$$\lambda(x + y) = \lambda(x_1 + y_1, \; x_2 + y_2, \; \dots, \; x_n + y_n)$$

$$= \big( \lambda(x_1 + y_1), \; \lambda(x_2 + y_2), \; \dots, \; \lambda(x_n + y_n) \big)$$

گام چهارم (استفاده از توزیع‌پذیری در میدان پایه $\mathbb{F}$): در میدان $\mathbb{F}$ (چه $\mathbb{R}$ و چه $\mathbb{C}$)، ضرب نسبت به جمع خاصیت توزیع‌پذیری دارد. بنابراین برای هر $j \in \{1, \dots, n\}$ داریم:

$$\lambda(x_j + y_j) = \lambda x_j + \lambda y_j$$

با جایگذاری این رابطه در تک‌تک درایه‌ها:

$$\lambda(x + y) = (\lambda x_1 + \lambda y_1, \; \lambda x_2 + \lambda y_2, \; \dots, \; \lambda x_n + \lambda y_n)$$

گام پنجم (تفکیک به حاصل جمع دو بردار): مجدداً بر اساس تعریف جمع برداری در $\mathbb{F}^n$، می‌توانیم این بردار را به دو بردار مجزا تفکیک کنیم:

$$= (\lambda x_1, \; \lambda x_2, \; \dots, \; \lambda x_n) + (\lambda y_1, \; \lambda y_2, \; \dots, \; \lambda y_n)$$

بردار اول دقیقاً ضرب اسکالر $\lambda$ در بردار $x$ است و بردار دوم دقیقاً ضرب اسکالر $\lambda$ در بردار $y$ است:

$$= \lambda(x_1, \dots, x_n) + \lambda(y_1, \dots, y_n) = \lambda x + \lambda y$$

نتیجه نهایی: رابطه توزیع‌پذیری اسکالر روی بردارها اثبات گردید:

$$\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y \blacksquare$$

نکات باریک‌تر از مو

• اشتباه با توزیع‌پذیری جمع دو اسکالر: این تمرین $\lambda(x+y) = \lambda x + \lambda y$ است (یک اسکالر روی دو بردار)، در حالی که تمرین ۱۵ رابطه $(a+b)x = ax + bx$ است (دو اسکالر روی یک بردار). اگرچه هر دو «توزیع‌پذیری» نامیده می‌شوند، اما دو اصل موضوع کاملاً متمایز در فضای برداری هستند.