صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $x \in \mathbb{F}^n$ داریم:

$$1x = x$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (نمایش بردار): فرض کنید $x \in \mathbb{F}^n$ باشد. بنابراین اعداد یکتایی از میدان $\mathbb{F}$ وجود دارند به‌طوری‌که:

$$x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$$

گام دوم (اعمال تعریف ضرب اسکالر): طبق تعریف ضرب اسکالر در فضای $\mathbb{F}^n$ (تعریف ۱۸.۱)، حاصل ضرب عدد $1 \in \mathbb{F}$ در بردار $x$ برابر است با ضرب $1$ در تک‌تک مؤلفه‌ها:

$$1x = 1(x_1, x_2, \dots, x_n) = (1 \cdot x_1, \; 1 \cdot x_2, \; \dots, \; 1 \cdot x_n)$$

گام سوم (اعمال ویژگی همانی در میدان پایه $\mathbb{F}$): عدد $1$ عضو خنثای ضرب در میدان $\mathbb{F}$ است. یعنی به ازای هر عدد $c \in \mathbb{F}$ داریم:

$$1 \cdot c = c$$

بنابراین برای هر مؤلفه $j \in \{1, 2, \dots, n\}$ داریم:

$$1 \cdot x_j = x_j$$

با جایگذاری این تساوی در تک‌تک مؤلفه‌های بردار:

$$(1 \cdot x_1, \; 1 \cdot x_2, \; \dots, \; 1 \cdot x_n) = (x_1, \; x_2, \; \dots, \; x_n)$$

گام چهارم (نتیجه‌گیری): بردار سمت راست دقیقاً همان بردار $x$ است. بنابراین:

$$1x = x$$

و این ویژگی به صورت دقیق اثبات شد $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• بدیهی پنداشتن بدون ارجاع به تعریف: نوشتن این‌که «چون ۱ ضرب در هر چیزی خودش می‌شود پس ۱x = x» اثبات ریاضی نیست. باید صریحاً نشان داده شود که ضرب اسکالر ابتدا روی مؤلفه‌ها پخش می‌شود و سپس خاصیت خنثی بودن ۱ در درایه‌ها اعمال می‌گردد.
• اهمیت این اصل موضوع: در نظریه فضاهای برداری، اگر این شرط $1x = x$ را نگنجانیم، ساختارهایی به وجود می‌آیند که در آن‌ها مثلاً ضرب هر اسکالر در بردار برابر صفر شود؛ لذا این شرط ضامن رفتار طبیعی ضرب اسکالر است.