صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $x \in \mathbb{F}^n$ و همه $a, b \in \mathbb{F}$ داریم:

$$(ab)x = a(bx)$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (نمایش بردار بر حسب مؤلفه‌ها): فرض کنید $x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n$ و $a, b \in \mathbb{F}$ باشند.

گام دوم (محاسبه سمت چپ: $(ab)x$): ابتدا حاصل‌ضرب دو اسکالر $a$ و $b$ عددی مانند $c = ab \in \mathbb{F}$ است. طبق تعریف ضرب اسکالر در $\mathbb{F}^n$ (تعریف ۱۸.۱):

$$(ab)x = (ab)(x_1, x_2, \dots, x_n) = \big( (ab)x_1, \; (ab)x_2, \; \dots, \; (ab)x_n \big)$$

گام سوم (استفاده از شرکت‌پذیری ضرب در میدان $\mathbb{F}$): برای هر اندیس $j \in \{1, 2, \dots, n\}$، عناصر $a, b$ و $x_j$ همگی به میدان $\mathbb{F}$ تعلق دارند. میدان $\mathbb{F}$ (خواه $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$) در عمل ضرب شرکت‌پذیر است:

$$(ab)x_j = a(bx_j)$$

بنابراین می‌توانیم پرانتزها را در تک‌تک مؤلفه‌های بردار جابه‌جا کنیم:

$$(ab)x = \big( a(bx_1), \; a(bx_2), \; \dots, \; a(bx_n) \big)$$

گام چهارم (فاکتورگیری اسکالر و بازسازی سمت راست): مجدداً با استناد به تعریف ضرب اسکالر، عدد $a$ که در تمام مؤلفه‌ها مشترک است را می‌توان به عنوان یک اسکالر در پشت بردار قرار داد:

$$\big( a(bx_1), \; a(bx_2), \; \dots, \; a(bx_n) \big) = a(bx_1, \; bx_2, \; \dots, \; bx_n)$$

از طرفی بردار درون پرانتز طبق تعریف ضرب اسکالر، دقیقاً برابر با ضرب اسکالر $b$ در بردار $x$ است:

$$(bx_1, \; bx_2, \; \dots, \; bx_n) = b(x_1, \; x_2, \; \dots, \; x_n) = bx$$

بنابراین با جایگذاری خواهیم داشت:

$$= a(bx)$$

نتیجه نهایی: برابری زیر اثبات شد:

$$(ab)x = a(bx) \blacksquare$$

نکات باریک‌تر از مو

• تفاوت ماهیت دو ضرب در سمت چپ و راست: در سمت چپ، $(ab)$ یک ضرب دو اسکالر در میدان است، اما در ضرب $(ab)$ در $x$، این یک ضرب اسکالر در بردار است. در سمت راست نیز $bx$ ضرب اسکالر در بردار بوده و سپس ضرب $a$ در بردار $(bx)$ نیز مجدداً ضرب اسکالر در بردار است. دقت به جنس این عملیات‌ها در جبر خطی بسیار حیاتی است.