صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $x, y, z \in \mathbb{F}^n$ داریم:

$$(x + y) + z = x + (y + z)$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (نام‌گذاری مؤلفه‌ها): فرض کنید $x, y, z \in \mathbb{F}^n$ سه بردار دلخواه باشند. طبق تعریف، این بردارها لیست‌هایی از طول $n$ با درایه‌هایی از میدان $\mathbb{F}$ هستند:

$$x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$$

$$y = (y_1, y_2, \dots, y_n)$$

$$z = (z_1, z_2, \dots, z_n)$$

که در آن برای هر $j \in \{1, 2, \dots, n\}$ داریم $x_j, y_j, z_j \in \mathbb{F}$.

گام دوم (محاسبه حاصل پرانتز اول $x + y$): طبق تعریف جمع برداری (تعریف ۱۳.۱):

$$x + y = (x_1 + y_1, \; x_2 + y_2, \; \dots, \; x_n + y_n)$$

گام سوم (محاسبه کل سمت چپ: $(x + y) + z$): اکنون بردار $z$ را با بردار حاصل جمع می‌کنیم:

$$(x + y) + z = (x_1 + y_1, \; \dots, \; x_n + y_n) + (z_1, \; \dots, \; z_n)$$

با اعمال مجدد تعریف جمع مؤلفه‌ای:

$$(x + y) + z = \big( (x_1 + y_1) + z_1, \; (x_2 + y_2) + z_2, \; \dots, \; (x_n + y_n) + z_n \big)$$

گام چهارم (انتقال شرکت‌پذیری به سطح اسکالرها در $\mathbb{F}$): برای هر مؤلفه دلخواه $j$ (از $1$ تا $n$)، مؤلفه‌ها اعدادی در میدان $\mathbb{F}$ هستند. میدان $\mathbb{F}$ چه اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ باشد و چه اعداد مختلط $\mathbb{C}$، دارای خاصیت شرکت‌پذیری جمع است:

$$(x_j + y_j) + z_j = x_j + (y_j + z_j)$$

بنابراین در تک‌تک درایه‌های بردار می‌توانیم پرانتز را تغییر دهیم:

$$(x + y) + z = \big( x_1 + (y_1 + z_1), \; x_2 + (y_2 + z_2), \; \dots, \; x_n + (y_n + z_n) \big)$$

گام پنجم (تفکیک بردار به ساختار سمت راست): طبق تعریف جمع در $\mathbb{F}^n$، می‌توانیم این بردار را به حاصل جمع دو بردار تفکیک کنیم:

$$= (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1 + z_1, \; y_2 + z_2, \; \dots, \; y_n + z_n)$$

و بردار دوم خود دقیقاً حاصل جمع $y + z$ است:

$$= (x_1, x_2, \dots, x_n) + \Big( (y_1, \dots, y_n) + (z_1, \dots, z_n) \Big)$$

$$= x + (y + z)$$

نتیجه نهایی: رابطه زیر برای هر سه بردار دلخواه در $\mathbb{F}^n$ به اثبات رسید:

$$(x + y) + z = x + (y + z) \blacksquare$$

نکات باریک‌تر از مو

• اشتباه گرفتن شرکت‌پذیری در $\mathbb{F}^n$ با شرکت‌پذیری در $\mathbb{F}$: بردارها لیست‌هایی $n$-بعدی هستند، در حالی که درایه‌های آن‌ها اعداد اسکالرند. کلید این اثبات این است که شرکت‌پذیری در کل فضا را ناشی از شرکت‌پذیری درایه‌های منفرد بدانیم.
• عدم تصریح دامنه اندیس‌ها: حتماً اشاره کنید که رابطه شرکت‌پذیری اسکالرها برای تمام $j \in \{1, \dots, n\}$ به صورت یکنواخت برقرار است.