صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha, \beta, \lambda \in \mathbb{C}$ داریم:

$$(\alpha + \beta) + \lambda = \alpha + (\beta + \lambda)$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (تعریف مؤلفه‌ها): فرض می‌کنیم $\alpha, \beta, \lambda \in \mathbb{C}$ باشند. بنابراین اعداد حقیقی $a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3 \in \mathbb{R}$ وجود دارند به‌طوری‌که:

$$\alpha = a_1 + b_1 i$$

$$\beta = a_2 + b_2 i$$

$$\lambda = a_3 + b_3 i$$

گام دوم (محاسبه پرانتز اول سمت چپ): طبق تعریف جمع در $\mathbb{C}$، حاصل $\alpha + \beta$ برابر است با:

$$\alpha + \beta = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$$

گام سوم (افزودن $\lambda$ به حاصل): اکنون $\lambda$ را به این مجموع اضافه می‌کنیم:

$$(\alpha + \beta) + \lambda = \big( (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \big) + (a_3 + b_3 i)$$

با اعمال مجدد تعریف جمع اعداد مختلط:

$$(\alpha + \beta) + \lambda = \big( (a_1 + a_2) + a_3 \big) + \big( (b_1 + b_2) + b_3 \big)i$$

گام چهارم (استفاده از شرکت‌پذیری جمع در $\mathbb{R}$): اعداد $a_1, a_2, a_3$ و $b_1, b_2, b_3$ همگی اعداد حقیقی هستند و خاصیت شرکت‌پذیری در $\mathbb{R}$ برقرار است:

$$(a_1 + a_2) + a_3 = a_1 + (a_2 + a_3)$$

$$(b_1 + b_2) + b_3 = b_1 + (b_2 + b_3)$$

با جایگذاری این تساوی‌ها در عبارت گام قبل داریم:

$$(\alpha + \beta) + \lambda = \big( a_1 + (a_2 + a_3) \big) + \big( b_1 + (b_2 + b_3) \big)i$$

گام پنجم (تفکیک و رسیدن به سمت راست): طبق تعریف جمع اعداد مختلط، این عبارت تفکیک می‌شود به:

$$= (a_1 + b_1 i) + \Big( (a_2 + a_3) + (b_2 + b_3)i \Big)$$

و پرانتز دوم خود حاصل‌جمع $\beta + \lambda$ است:

$$= (a_1 + b_1 i) + \Big( (a_2 + b_2 i) + (a_3 + b_3 i) \Big)$$

$$= \alpha + (\beta + \lambda)$$

نتیجه نهایی: بنابراین برای هر سه عدد مختلط دلخواه داریم:

$$(\alpha + \beta) + \lambda = \alpha + (\beta + \lambda)$$

و حکم اثبات شد $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• اشتباه گرفتن $\lambda$ با اسکالر حقیقی: در این مسئله صریحاً ذکر شده $\lambda \in \mathbb{C}$؛ پس نباید فرض کنید $\lambda$ فقط یک عدد حقیقی است و باید آن را هم با بخش موهومی $a_3 + b_3 i$ در نظر گرفت.
• پرش در توجیه شرکت‌پذیری مؤلفه‌ها: انتقال پرانتز از $((a_1+a_2)+a_3)$ به $(a_1+(a_2+a_3))$ دقیقاً همان نقطه‌ای است که نیازمند استناد به ویژگی‌های اعداد حقیقی است و نباید بدون ذکر دلیل رد شود.