صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $\alpha \in \mathbb{C}$، یک $\beta \in \mathbb{C}$ منحصر‌به‌فرد (یکتا) وجود دارد به‌طوری‌که:

$$\alpha + \beta = 0$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

فرض می‌کنیم $\alpha \in \mathbb{C}$ یک عدد مختلط دلخواه باشد. پس به ازای اعداد حقیقی یکتای $a, b \in \mathbb{R}$ داریم:

$$\alpha = a + bi$$

بخش اول: اثبات وجود (Existence)

گام اول (ساختن کاندیدای وارون): چون $a, b \in \mathbb{R}$ هستند، قرینه‌های آن‌ها یعنی $-a$ و $-b$ نیز در $\mathbb{R}$ وجود دارند. عدد مختلط $\beta$ را چنین تعریف می‌کنیم:

$$\beta = (-a) + (-b)i \in \mathbb{C}$$

گام دوم (بررسی درستی معادله): حاصل جمع $\alpha + \beta$ را طبق تعریف جمع در $\mathbb{C}$ حساب می‌کنیم:

$$\alpha + \beta = (a + bi) + \big( (-a) + (-b)i \big) = \big( a + (-a) \big) + \big( b + (-b) \big)i$$

در اعداد حقیقی می‌دانیم $a + (-a) = 0$ و $b + (-b) = 0$. پس:

$$\alpha + \beta = 0 + 0i = 0$$

بدین ترتیب حداقل یک عدد مختلط با این خاصیت وجود دارد. بخش «وجود» اثبات شد.

---

بخش دوم: اثبات یکتایی (Uniqueness)

روش مؤلفه‌ای (جبری دبیرستانی): فرض کنید عدد دیگری مانند $\beta' = c + di$ با $c, d \in \mathbb{R}$ نیز در این معادله صدق کند:

$$\alpha + \beta' = 0$$

با باز کردن رابطه:

$$(a + bi) + (c + di) = 0 + 0i \implies (a + c) + (b + d)i = 0 + 0i$$

بر اساس تعریف برابری دو عدد مختلط، باید هم بخش حقیقی و هم بخش موهومی برابر صفر باشند:

$$\begin{cases} a + c = 0 \\ b + d = 0 \end{cases}$$

با حل این دو معادله ساده در اعداد حقیقی:

$$c = -a, \quad d = -b$$

بنابراین:

$$\beta' = c + di = (-a) + (-b)i = \beta$$

روش دوم: اثبات مجرد (Abstract Proof): فرض کنید $\beta_1$ و $\beta_2$ دو وارون جمعی برای $\alpha$ باشند؛ یعنی:

$$\alpha + \beta_1 = 0 \quad \text{و} \quad \alpha + \beta_2 = 0$$

می‌دانیم $0 + \beta_2 = \beta_2$، پس:

$$\beta_1 = \beta_1 + 0 = \beta_1 + (\alpha + \beta_2)$$

طبق شرکت‌پذیری جمع (تمرین ۲) و جابه‌جایی (تمرین ۱):

$$\beta_1 + (\alpha + \beta_2) = (\beta_1 + \alpha) + \beta_2 = (\alpha + \beta_1) + \beta_2 = 0 + \beta_2 = \beta_2$$

در نتیجه:

$$\beta_1 = \beta_2$$

نتیجه نهایی: وارون جمعی برای هر عدد مختلط $\alpha$ همواره وجود دارد و منحصر‌به‌فرد است $\blacksquare$ (این عدد یکتا را با $-\alpha$ نمایش می‌دهیم).

نکات باریک‌تر از مو

• فراموش کردن بخش یکتایی: در صورت سؤال آمده «یک $\beta$ منحصر‌به‌فرد وجود دارد». اگر دانشجو فقط $-a-bi$ را معرفی کند و نشان دهد جمعش صفر می‌شود، فقط نیمی از نمره را می‌گیرد؛ باید حتماً ثابت شود هیچ جواب دیگری وجود ندارد.
• استفاده از علامت منفی قبل از تعریف آن: نمی‌توان در ابتدای برهان نوشت $\beta = -\alpha$، زیرا نماد منفی $-\alpha$ دقیقاً بعد از اثبات وجود و یکتایی این تمرین است که به عنوان نماد وارون جمعی قرارداد می‌شود!