صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

توضیح دهید چرا هیچ $\lambda \in \mathbb{C}$ وجود ندارد به‌طوری‌که:

$$\lambda(2 - 3i, \; 5 + 4i, \; -6 + 7i) = (12 - 5i, \; 7 + 22i, \; -32 - 9i)$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (تشکیل دستگاه معادلات مؤلفه‌ای): طبق تعریف ضرب اسکالر در $\mathbb{C}^3$، رابطه برداری $\lambda u = v$ به معنای برقراری هم‌زمان سه معادله زیر است:

$$\begin{cases} \lambda(2 - 3i) = 12 - 5i & \text{--- (مؤلفه اول)} \\ \lambda(5 + 4i) = 7 + 22i & \text{--- (مؤلفه دوم)} \\ \lambda(-6 + 7i) = -32 - 9i & \text{--- (مؤلفه سوم)} \end{cases}$$

گام دوم (محاسبه مقدار $\lambda$ از مؤلفه اول): از معادله مؤلفه اول داریم:

$$\lambda = \frac{12 - 5i}{2 - 3i}$$

برای محاسبه حاصل این تقسیم، صورت و مخرج را در مزدوج مخرج یعنی $2 + 3i$ ضرب می‌کنیم:

$$\lambda = \frac{(12 - 5i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)}$$

مخرج برابر است با:

$$(2)^2 + (3)^2 = 4 + 9 = 13$$

صورت کسر را با ضرب دوجمله‌ای‌ها محاسبه می‌کنیم:

$$(12 - 5i)(2 + 3i) = 12(2) + 12(3i) - 5i(2) - 5i(3i)$$

$$= 24 + 36i - 10i - 15(i^2)$$

چون $i^2 = -1$ است:

$$= 24 + 26i - 15(-1) = 24 + 26i + 15 = 39 + 26i$$

اکنون کسر را ساده می‌کنیم:

$$\lambda = \frac{39 + 26i}{13} = \frac{39}{13} + \frac{26}{13}i = 3 + 2i$$

بنابراین اگر اسکالری وجود داشته باشد، تنها کاندیدای ممکن $\lambda = 3 + 2i$ است.

گام سوم (بررسی کاندید در مؤلفه دوم): حاصل ضرب این کاندیدا در مؤلفه دوم بردار $u$ را حساب می‌کنیم:

$$\lambda(5 + 4i) = (3 + 2i)(5 + 4i)$$

$$= 3(5) + 3(4i) + 2i(5) + 2i(4i)$$

$$= 15 + 12i + 10i + 8(-1)$$

$$= (15 - 8) + (12 + 10)i = 7 + 22i$$

مشاهده می‌کنیم که حاصل کاملاً با مؤلفه دوم هدف ($7 + 22i$) منطبق است!

گام چهارم (بررسی کاندید در مؤلفه سوم و بروز تناقض): اکنون ضرب $\lambda$ در مؤلفه سوم بردار $u$ را حساب می‌کنیم:

$$\lambda(-6 + 7i) = (3 + 2i)(-6 + 7i)$$

$$= 3(-6) + 3(7i) + 2i(-6) + 2i(7i)$$

$$= -18 + 21i - 12i + 14(-1)$$

$$= (-18 - 14) + (21 - 12)i$$

$$= -32 + 9i$$

حال این مقدار را با مؤلفه سوم بردار هدف مقایسه می‌کنیم:

• مقدار حاصل از ضرب: $-32 + 9i$
• مؤلفه سوم در صورت مسئله: $-32 - 9i$

از آنجا که:

$$-32 + 9i \neq -32 - 9i \quad (\text{چون } 9 \neq -9)$$

رابطه برای مؤلفه سوم برقرار نیست.

نتیجه نهایی: تنها مقداری از $\lambda$ که دو مؤلفه اول را ارضا می‌کرد، در مؤلفه سوم شکست خورد. بنابراین هیچ عدد مختلط واحدی مانند $\lambda \in \mathbb{C}$ وجود ندارد که بتواند هر سه مؤلفه را به طور هم‌زمان تولید کند $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• توقف زودهنگام بعد از مؤلفه دوم: طراح سوال عمداً مؤلفه دوم را طوری تنظیم کرده که با $\lambda = 3 + 2i$ جور در بیاید! اگر دانشجو بعد از مؤلفه دوم بررسی را متوقف کند، به اشتباه نتیجه می‌گیرد که جواب وجود دارد. باید تمام مؤلفه‌ها تا آخرین مؤلفه بررسی شوند.
• اشتباه در علامت مزدوج و محاسبات کسر: خطای محاسباتی در تقسیم مختلط مؤلفه اول، کل ادامه استدلال را منحرف می‌کند.