صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که برای هر $a, b \in \mathbb{F}$ و همه $x \in \mathbb{F}^n$ داریم:

$$(a + b)x = ax + bx$$

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

گام اول (نمایش بردار): فرض کنید $a, b \in \mathbb{F}$ دو اسکالر دلخواه باشند و $x \in \mathbb{F}^n$ برداری باشد با نمایش مؤلفه‌ای:

$$x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$$

که در آن $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{F}$ هستند.

گام دوم (محاسبه سمت چپ: ضرب اسکالر $(a + b)$ در بردار): حاصل جمع دو اسکالر $a + b$ خود عضوی از میدان $\mathbb{F}$ است. طبق تعریف ضرب اسکالر در فضای $\mathbb{F}^n$ (تعریف ۱۸.۱)، این عدد در تمام مؤلفه‌های بردار ضرب می‌شود:

$$(a + b)x = (a + b)(x_1, x_2, \dots, x_n) = \big( (a + b)x_1, \; (a + b)x_2, \; \dots, \; (a + b)x_n \big)$$

گام سوم (اعمال توزیع‌پذیری در میدان پایه $\mathbb{F}$): برای هر اندیس $j \in \{1, 2, \dots, n\}$، عناصر $a, b, x_j$ همگی اعدادی در میدان $\mathbb{F}$ هستند. در هر میدان، ضرب نسبت به جمع توزیع‌پذیر است؛ بنابراین:

$$(a + b)x_j = ax_j + bx_j$$

با جایگزینی در تمام درایه‌های بردار:

$$(a + b)x = (ax_1 + bx_1, \; ax_2 + bx_2, \; \dots, \; ax_n + bx_n)$$

گام چهارم (تفکیک به مجموع دو بردار): طبق تعریف جمع بردارها در $\mathbb{F}^n$ (تعریف ۱۳.۱):

$$(ax_1 + bx_1, \; \dots, \; ax_n + bx_n) = (ax_1, \; \dots, \; ax_n) + (bx_1, \; \dots, \; bx_n)$$

گام پنجم (استخراج اسکالرها و رسیدن به سمت راست): با استناد به تعریف ضرب اسکالر، بردار اول برابر با $ax$ و بردار دوم برابر با $bx$ است:

$$(ax_1, \; \dots, \; ax_n) = a(x_1, \; \dots, \; x_n) = ax$$

$$(bx_1, \; \dots, \; bx_n) = b(x_1, \; \dots, \; x_n) = bx$$

بنابراین:

$$(ax_1, \; \dots, \; ax_n) + (bx_1, \; \dots, \; bx_n) = ax + bx$$

نتیجه نهایی: برابری زیر اثبات گردید:

$$(a + b)x = ax + bx \blacksquare$$

نکات باریک‌تر از مو

• تمایز علامت «+» در دو طرف تساوی:
  • در سمت چپ $(a + b)x$، علامت «+» عمل جمع اسکالرها در میدان $\mathbb{F}$ است.
  • در سمت راست $ax + bx$، علامت «+» عمل جمع بردارها در فضای $\mathbb{F}^n$ است. درک این تفاوت مفهومی یکی از مهم‌ترین نشانه‌های تسلط دانشجو بر اصول جبر خطی است.