تعریف ۸.۱: مفهوم لیست و طول آن (List and Length of a List)

۱. درک شهودی و تفاوت با مجموعه‌های دبیرستانی

در ریاضیات دبیرستان آموخته‌ایم که در مجموعه‌ها:

1. ترتیب مهم نیست: $\{1, 2\} = \{2, 1\}$
2. تکرار بی‌اثر است: $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$

اما برای نشان دادن موقعیت جغرافیایی، نقطه $(2, 5)$ در صفحه مختصات کاملاً با نقطه $(5, 2)$ متفاوت است! همچنین بردار سرعت $(0, 0)$ با بردار یک‌بعدی $(0)$ فرق دارد. برای فرمول‌بندی فضاهای مختصاتی، به ابزاری نیاز داریم که در آن هم جایگاه هر عنصر و هم تعداد تکرار آن محفوظ بماند. این ساختار دقیقاً لیست (List) است.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

۳. کالبدشکافی شرایط و نکات ظریف ریاضی

• مترادف ریاضی ($n$-تایی): بسیاری از ریاضیدانان به یک لیست به طول $n$، یک $n$-تایی مرتب ($n$-tuple) می‌گویند.

  • لیست به طول ۲: زوج مرتب (Ordered Pair) به شکل $(a, b)$.
  • لیست به طول ۳: سه‌تایی مرتب (Ordered Triple) به شکل $(x, y, z)$.
  • لیست به طول $n$: به شکل $(z_1, z_2, \dots, z_n)$.

• شرط پایان‌پذیری (طول متناهی): طبق تعریف صریح آکسلر، طول یک لیست همواره یک عدد صحیح نامنفی متناهی است. بنابراین شیئی مانند:

  $$(x_1, x_2, x_3, \dots)$$

  که دارای بی‌نهایت مولفه است، از نظر کتاب یک لیست نیست، بلکه یک دنباله (Sequence) نام دارد (که بعداً در مثال ۲۳.۱ بررسی خواهد شد).

• لیست با طول صفر: یک لیست با طول صفر به صورت $()$ نمایش داده می‌شود. پذیرش این شیء خالی به عنوان یک لیست مجاز، از بروز استثناهای بی‌مورد در قضایای ریاضی بعدی جلوگیری می‌کند.

• معیار دقیق برابری دو لیست: دو لیست $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ و $(b_1, b_2, \dots, b_m)$ برابرند اگر و تنها اگر:

  1. $n = m$ (طول یکسان)
  2. برای هر $k \in \{1, \dots, n\}$ داشته باشیم $a_k = b_k$ (برابری مؤلفه به مؤلفه)

۴. مثال‌ها و تمایزات

۵. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

• انگیزه پیدایش: مثال ۷.۱: فضاهای R2 و R3
• مقایسه موشکافانه با مجموعه: مثال ۹.۱: مقایسه دقیق لیست در برابر مجموعه
• تثبیت نماد طول: نماد ۱۰.۱: تثبیت طول n
• کاربرد در ساخت فضا: تعریف ۱۱.۱: فضای Fn و مختصات