صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید که $\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ یک ریشه سوم $1$ است (یعنی مکعب آن برابر $1$ است).

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

عدد داده‌شده را به فرم استاندارد تفکیک می‌کنیم:

$$\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

گام اول: محاسبه توان دوم ($\omega^2$)

$$\omega^2 = \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2$$

با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:

$$\omega^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2$$

تک‌تک جملات را ساده می‌کنیم:

1. جمله اول: $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
2. جمله دوم: $2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{\sqrt{3}}{2}i$
3. جمله سوم: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 i^2 = \frac{3}{4} (-1) = -\frac{3}{4}$

حال جملات حقیقی را با هم ترکیب می‌کنیم:

$$\omega^2 = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \right) - \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

(جالب است توجه کنید که $\omega^2$ دقیقاً همان مزدوج مختلط $\omega$ است!)

گام دوم: محاسبه توان سوم ($\omega^3 = \omega^2 \cdot \omega$) اکنون $\omega^2$ را در $\omega$ ضرب می‌کنیم:

$$\omega^3 = \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)$$

این ضرب دقیقاً ساختار اتحاد مزدوج $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$ را دارد که در آن $X = -\frac{1}{2}$ و $Y = \frac{\sqrt{3}}{2}i$ است:

$$\omega^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2$$

محاسبه توان‌ها:

$$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 = \frac{3}{4} i^2 = \frac{3}{4}(-1) = -\frac{3}{4}$$

بنابراین:

$$\omega^3 = \frac{1}{4} - \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

نتیجه نهایی: نشان دادیم که:

$$\left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)^3 = 1$$

بنابراین این عدد یک ریشه سوم واحد ($1$) است $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

• اشتباه در علامت توان دوم $i$: دانشجو نباید فراموش کند که $(\sqrt{3}i/2)^2 = -3/4$ است و نه $+3/4$.
• فراموشی مخرج مشترک ۲: وقتی صورت کسر به توان می‌رسد، مخرج $2$ نیز به توان ۲ رسیده و به $4$ تبدیل می‌شود. اگر از فرم کسری یکپارچه استفاده می‌کنید حتماً مخرج را $2^3 = 8$ در نظر بگیرید: $$(-1 + \sqrt{3}i)^3 = (-1)^3 + 3(-1)^2(\sqrt{3}i) + 3(-1)(\sqrt{3}i)^2 + (\sqrt{3}i)^3 = -1 + 3\sqrt{3}i + 9 - 3\sqrt{3}i = 8 \implies \frac{8}{8} = 1$$