اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, \dots, v_m$ یک لیست مستقل خطی از بردارها در $V$ باشد، آنگاه لیست

نیز مستقل خطی است.

گام اول (تشکیل معادله با ضرایب اسکالر): فرض کنید اسکالرهایی مانند $c_1, c_2, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ وجود داشته باشند به طوری که:

گام دوم (گروه‌بندی جملات بر حسب بردارهای $v_k$): با توزیع $c_1$ روی دو جمله اول و مرتب‌سازی جملات داریم:

با فاکتورگیری از $v_2$:

گام سوم (استفاده از استقلال خطی لیست اولیه): طبق فرض مسئله، لیست اولیه $v_1, v_2, \dots, v_m$ مستقل خطی است. بنا به تعریف ۱۵.۲، تنها راهی که ترکیب خطی بالا می‌تواند بردار صفر باشد این است که تمام ضرایب بردارها صفر باشند. بنابراین:

1. برای بردار $v_1$: $$5c_1 = 0$$
2. برای بردار $v_2$: $$c_2 - 4c_1 = 0$$
3. برای بردارهای $v_k$ با $k \ge 3$: $$c_k = 0 \quad (\forall k \in \{3, \dots, m\})$$

گام چهارم (استنتاج صفر بودن تمامی ضرایب $c_k$):

• در معادله اول، چون در میدان $\mathbb{F}$ (اعداد حقیقی یا مختلط) عدد ۵ ناصفر است ($5 \neq 0$)، می‌توان طرفین را در وارون ضربی آن ($\frac{1}{5}$) ضرب کرد: $$c_1 = 0$$
• با جایگذاری $c_1 = 0$ در معادله دوم: $$c_2 - 4(0) = 0 \implies c_2 = 0$$
• از گام سوم نیز مستقیماً داشتیم: $$c_3 = c_4 = \dots = c_m = 0$$

بنابراین تمامی اسکالرهای $c_1, c_2, \dots, c_m$ همگی برابر صفر هستند.

گام پنجم (نتیجه‌گیری): چون معادله ترکیب خطی مساوی صفر تنها دارای جواب بدیهی $c_1 = \dots = c_m = 0$ است، طبق تعریف، لیست $5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, \dots, v_m$ مستقل خطی است $\blacksquare$

• نقش حیاتی ضریب غیرصفر بردار اول: دقت کنید که اگر به جای $5v_1 - 4v_2$ عبارت $0v_1 - 4v_2$ (یعنی فقط $-4v_2$) قرار می‌گرفت، لیست جدید شامل دو بردار موازی $-4v_2$ و $v_2$ می‌شد و فوراً وابسته خطی می‌گردید! استقلال خطی به دلیل ناصفر بودن ضریب $v_1$ حفظ شده است.
• میدان‌های با مشخصه ۵ (نکته پیشرفته): اگر میدان فرضی دارای مشخصه ۵ می‌بود (مانند میدان متناهی $\mathbb{Z}_5$)، آنگاه در آن میدان $5 = 0$ می‌شد و گزاره نقض می‌گردید. اما در قرارداد کتاب آکسلر، $\mathbb{F}$ همواره $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ است که در آن‌ها $5 \neq 0$ قطعی است.