تمرین ۳ بخش ۲.۱: یکتایی جواب معادله جبری برداری

۱. تحلیل اولیه و باز کردن خواسته مسئله

• داده‌های مسئله:
  • $V$ یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{F}$ (که در سراسر کتاب آکسلر $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ است).
  • دو بردار مشخص و معلوم $v, w \in V$ داده شده‌اند.
  • ضریب عددی $3$ نشان‌دهنده اسکالر $1 + 1 + 1$ در میدان است که غیرصفر بوده و وارون ضربی آن $\frac{1}{3} \in \mathbb{F}$ وجود دارد.
• حکم مسئله:
  • واژه «یک بردار منحصر‌به‌فرد وجود دارد» از دو بخش کاملاً مجزا تشکیل شده که هر دو باید اثبات شوند:
    1. وجود (Existence): حداقل یک بردار $x \in V$ پیدا می‌شود که در معادله صدق کند.
    2. یکتایی (Uniqueness): اگر هر بردار دیگری هم در معادله صدق کند، الزاماً با همان بردار اول برابر است (بیش از یک جواب نداریم).
• چک‌لیست ابزارهای مورد نیاز:
  • تعریف ۲۰.۱: اصول موضوعه دهگانه فضای برداری (جابه‌جایی، شرکت‌پذیری جمع و ضرب اسکالر، وارون و همانی جمعی، همانی ضرب اسکالر)
  • نماد ۲۸.۱: تعریف تفریق بردارها w - v = w + (-v)

۲. ایده و استراتژی حل (Problem-Solving Strategy)

در مسائل جبر دبیرستانی، برای حل معادله $a + 3x = b$، ابتدا $a$ را به سمت دیگر می‌بریم ($3x = b - a$) و سپس طرفین را بر ۳ تقسیم می‌کنیم ($x = \frac{b-a}{3}$). در فضای برداری، مفهوم «بردن به سمت دیگر» یا «تقسیم کردن» به عنوان اعمال اولیه وجود ندارد. ما باید هر گام را با استفاده از اصول موضوعه بنیادی بازسازی کنیم:

• «بردن به آن طرف» معادل است با: افزودن بردار وارون جمعی $-v$ به دو طرف معادله.
• «تقسیم بر ۳» معادل است با: ضرب اسکالر وارون ضربی $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ در دو طرف بردار.

سپس با ارائه صریح کاندیدای $x = \frac{1}{3}(w - v)$ صحت معادله را می‌آزماییم (وجود)، و با فرض وجود دو جواب $x_1, x_2$ برابری آن‌ها را نشان می‌دهیم (یکتایی).

۳. حل تشریحی گام‌به‌گام (Step-by-Step Solution)

بخش اول: اثبات وجود جواب (Existence)

کاندیدای جواب را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

گام ۱ (بررسی عضویت در $V$):

• طبق فرض، $v \in V$ است، پس وارون جمعی آن $-v \in V$ است.
• چون $w \in V$ و $-v \in V$ هستند، طبق بسته بودن $V$ تحت عمل جمع، بردار $w + (-v) \in V$ است.
• عدد $\frac{1}{3} \in \mathbb{F}$ است. طبق بسته بودن $V$ تحت ضرب اسکالر، حاصل‌ضرب اسکالر $\frac{1}{3}(w + (-v))$ نیز عضوی از $V$ است. پس قطعا $x \in V$.

گام ۲ (قرار دادن در معادله و بررسی درستی تساوی): حال سمت چپ معادله $v + 3x$ را با قرار دادن این $x$ محاسبه می‌کنیم:

• طبق اصل موضوعه شرکت‌پذیری ضرب اسکالر ($(ab)u = a(bu)$): $$3\left(\frac{1}{3}\big(w + (-v)\big)\right) = \left(3 \cdot \frac{1}{3}\right)\big(w + (-v)\big) = 1\big(w + (-v)\big)$$
• طبق اصل موضوعه همانی ضرب اسکالر ($1u = u$): $$1\big(w + (-v)\big) = w + (-v)$$
• بنابراین سمت چپ عبارت است از: $$v + \big(w + (-v)\big)$$
• طبق جابه‌جایی و شرکت‌پذیری جمع: $$v + \big((-v) + w\big) = \big(v + (-v)\big) + w$$
• طبق تعریف وارون جمعی ($v + (-v) = 0$): $$\big(v + (-v)\big) + w = 0 + w$$
• طبق تعریف همانی جمعی ($0 + w = w$): $$0 + w = w$$

پس $v + 3x = w$ برقرار است. این یعنی بردار $x = \frac{1}{3}(w - v)$ واقعاً یک جواب برای معادله است.

بخش دوم: اثبات یکتایی جواب (Uniqueness)

فرض کنید دو بردار $x_1, x_2 \in V$ در معادله صدق کنند؛ یعنی داشته باشیم:

چون هر دو با $w$ برابرند:

اکنون گام‌به‌گام به سمت تساوی $x_1 = x_2$ پیش می‌رویم:

1. بردار $-v$ را به سمت چپ هر دو عبارت اضافه می‌کنیم: $$-v + (v + 3x_1) = -v + (v + 3x_2)$$
2. با استفاده از خاصیت شرکت‌پذیری جمع: $$(-v + v) + 3x_1 = (-v + v) + 3x_2$$
3. با استفاده از تعریف وارون جمعی (و جابه‌جایی که $-v + v = 0$): $$0 + 3x_1 = 0 + 3x_2$$
4. با استفاده از تعریف همانی جمعی: $$3x_1 = 3x_2$$
5. اکنون اسکالر $\frac{1}{3} \in \mathbb{F}$ را در طرفین ضرب می‌کنیم: $$\frac{1}{3}(3x_1) = \frac{1}{3}(3x_2)$$
6. با اعمال شرکت‌پذیری ضرب اسکالر: $$\left(\frac{1}{3} \cdot 3\right)x_1 = \left(\frac{1}{3} \cdot 3\right)x_2 \implies 1x_1 = 1x_2$$
7. با اعمال همانی ضرب اسکالر: $$x_1 = x_2$$

بنابراین هر دو جوابی که برای معادله پیدا شوند، الزاماً یکی هستند. پس جواب معادله کاملاً منحصر‌به‌فرد است. $\blacksquare$

۴. دام‌های رایج در حل این تیپ مسئله

۵. پیوندها

• مفاهیم تئوری مرتبط:
  • تعریف ۲۰.۱: اصول موضوعه فضای برداری
  • قضیه ۲۷.۱: یکتایی وارون جمعی
  • نماد ۲۸.۱: تفریق بردارها
• تمرین قبلی: تمرین ۲ بخش ۲.۱ صفر بودن حاصل ضرب اسکالر
• تمرین بعدی: تمرین ۴ بخش ۲.۱ تهی نبودن فضای برداری