صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۸)

فرض کنید $a \in \mathbb{F}$، $v \in V$ و داشته باشیم:

$$av = 0$$

ثابت کنید که حتماً $a = 0$ یا $v = 0$.

حل دقیق و بدون پرش محاسباتی

فرض می‌کنیم $a \in \mathbb{F}$ و $v \in V$ چنان باشند که:

$$av = 0$$

بررسی حالت‌ها:

• حالت ۱: اگر $a = 0$ باشد، گزاره «$a = 0$ یا $v = 0$» بدیهتاً درست است و نیاز به اثبات بیشتری ندارد.
• حالت ۲: فرض می‌کنیم $a \neq 0$ باشد. در این حالت، چون $\mathbb{F}$ یک میدان است، هر عنصر ناصفر دارای وارون ضربی است. بنابراین عنصری مانند $a^{-1} \in \mathbb{F}$ وجود دارد به طوری که: $$a^{-1} a = 1$$

حال طرفین معادله برداری $av = 0$ را در اسکالر $a^{-1}$ ضرب می‌کنیم:

$$a^{-1}(av) = a^{-1}(0)$$

اکنون هر دو سمت تساوی را با ذکر دقیق دلیل ساده‌سازی می‌کنیم:

گام اول (ساده‌سازی سمت چپ): طبق اصل موضوعه شرکت‌پذیری ضرب اسکالر ($(ab)v = a(bv)$ در تعریف ۲۰.۱):

$$a^{-1}(av) = (a^{-1}a)v$$

چون در میدان داریم $a^{-1}a = 1$:

$$(a^{-1}a)v = 1v$$

طبق اصل موضوعه همانی ضرب اسکالر ($1v = v$):

$$1v = v$$

بنابراین سمت چپ تساوی دقیقاً برابر با خود بردار $v$ است.

گام دوم (ساده‌سازی سمت راست): سمت راست عبارت است از $a^{-1}(0)$ که در آن $0$ بردار صفر در $V$ است. طبق قضیه ۳۱.۱، ضرب هر عدد اسکالر در بردار صفر برابر با بردار صفر است:

$$a^{-1}(0) = 0$$

گام سوم (نتیجه‌گیری): با برابر قرار دادن نتایج گام‌های اول و دوم:

$$v = 0$$

جمع‌بندی نهایی: نشان دادیم که اگر $a \neq 0$ باشد، آنگاه حتماً باید $v = 0$ باشد. این موضوع دقیقاً به این معناست که همواره حداقل یکی از دو گزاره $a = 0$ یا $v = 0$ برقرار است. بنابراین حکم مسئله اثبات شد. $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو

1. خطای تقسیم بر بردار: برخی دانشجویان می‌نویسند: «اگر $v \neq 0$ باشد، طرفین را بر $v$ تقسیم می‌کنیم تا $a = \frac{0}{v} = 0$ شود!». هشدار بزرگ: در فضاهای برداری مفهومی به نام «تقسیم بر بردار» یا «وارون ضربی یک بردار» اصلاً و ابداً وجود ندارد. ضرب اسکالر فقط یک عدد را در یک بردار ضرب می‌کند. تنها چیزی که مجاز به ضرب وارون آن هستیم، اسکالر غیرصفر $a^{-1}$ در میدان است، نه بردار.
2. عدم استناد به قضیه ضرب اسکالر در بردار صفر: چرا $a^{-1} \cdot 0 = 0$ است؟ این یک اصل موضوعه نیست، بلکه یک قضیه اثبات‌شده در جبر خطی است (قضیه ۳۱.۱) که تکیه بر توزیع‌پذیری دارد. نادیده گرفتن چرایی صفر شدن سمت راست از خطاهای رایج است.